Enunciado

Calcule

∫ γ - y 4 x 2 + y 2 d x + x 4 x 2 + y 2 d y

Onde γ tem por imagem a elipse 4 x 2 + y 2 = 9 e o sentido do percurso é o anti-horário.

Passo 1

Acho que como quase todos os problemas que encontramos em nosso livro, existe uma necessidade de recordarmos nossas aulas de Geometria Analítica. Por sorte temos um exercício fácil, mas um pouco trabalhoso.

Passo 2

Primeiro vamos descrever nossa curva em função de γ t . Desta forma vamos reescrever nossa curva de forma a deixar ela resumida.

4 x 2 + y 2 = 9 → x 3 / 2 2 + y 3 2 = 1

Essa nossa elipse pode ser rescrita usando coordenada polares. Assim tome

x 3 / 2 = cos ⁡ θ

y 3 = s e n   θ

A escolha de nosso cosseno em x e seno em y é exatamente por se tratar de um sentido anti-horário.

Fechando nosso percurso, fazemos θ ∈ 0,2 π .

Passo 3

Agora podemos reescrever nossa integral como

∫ 0 2 π - 3   s e n θ 9 - 3 2 s e n   θ   d θ + 3 2 cos ⁡ θ 9 3 cos ⁡ θ   d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 2 π d θ = π

Resposta

π

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