Seja f(x, y) = x^3 / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) e f(0,0) = 0 . Mostre que

∂ f ∂ u → 0,0 ≠ ∇ f 0,0 ⋅ u → ,

onde u = (1/raiz(2), 1/raiz(2)) . Explique.

Passo 1

Aqui temos uma função definida por partes: para x , y ≠ ( 0,0 ) , ela vale

f x , y = x 3 x 2 + y 2

Já para x , y = ( 0,0 ) , temos f 0,0 = 0 . Queremos mostrar que, neste caso, a derivada direcional em ( 0,0 ) não é dada pelo produto escalar do gradiente pelo versor da direção. Para isso, temos que calcular a derivada direcional na raça:

∂ f ∂ u → x 0 , y 0 = lim t → 0 ⁡ f x 0 + a t ,   y 0 + b t - f x 0 , y 0 t ,

onde u → = ( a , b ) . Neste caso, com a = b = 1 / 2 , temos que

∂ f ∂ u → 0,0 = lim t → 0 ⁡ f t 2 , t 2 - f 0,0 t = lim t → 0 ⁡ t / 2 3 t 2 / 2 + t 2 / 2 - 0 t = lim t → 0 ⁡ t 3 / 2 2 t 2 t = lim t → 0 ⁡ 1 2 2

∂ f ∂ u → 0,0 = 1 2 2

Passo 2

Agora vamos calcular o gradiente ∇ f ( 0,0 ) . Para isso, vamos achar as derivadas parciais.

IMPORTANTE: como f é definida por partes e o ponto de colagem é justamente ( 0,0 ) , você não pode usar as regras de derivação aqui. Temos que calcular as derivadas parciais na raça também:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h ,   y 0 - f ( x 0 , y 0 ) h

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 ,   y 0 + h - f ( x 0 , y 0 ) h

Assim, como f 0,0 = 0 :

∂ f ∂ x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f ( h , 0 ) h = lim h → 0 ⁡ h h = 1

∂ f ∂ y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f ( 0 , h ) h = lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

Portanto,

∇ f 0,0 = ( 1 ,   0 )

Passo 3

Assim, podemos fazer

∇ f 0,0 ⋅ u → = 1 ,   0 ⋅ 1 2 1 ,   1 = 1 2

Mas vimos que

∂ f ∂ u → 0,0 = 1 2 2

Portanto

∂ f ∂ u → 0,0 ≠ ∇ f 0,0 ⋅ u →

Eu sei que você deve estar se perguntando: mas essa não era a fórmula da derivada direcional? Como ela não funciona aqui?

O problema reside aqui: só podemos usar essa fórmula com o produto escalar de gradiente se f for diferenciável (vai lá olhar o enunciado do teorema 1 no começo da seção). Neste caso, f não é diferenciável na origem, por isso a fórmula não vale nesse ponto. Para qualquer outro ponto ela vai valer, mas nesse não...

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados