Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 21
Seja se e . Mostre que
onde . Explique.
Passo 1
Aqui temos uma função definida por partes: para , ela vale
Já para , temos . Queremos mostrar que, neste caso, a derivada direcional em não é dada pelo produto escalar do gradiente pelo versor da direção. Para isso, temos que calcular a derivada direcional na raça:
onde . Neste caso, com , temos que
Passo 2
Agora vamos calcular o gradiente . Para isso, vamos achar as derivadas parciais.
IMPORTANTE: como é definida por partes e o ponto de colagem é justamente , você não pode usar as regras de derivação aqui. Temos que calcular as derivadas parciais na raça também:
Assim, como :
Portanto,
Passo 3
Assim, podemos fazer
Mas vimos que
Portanto
Eu sei que você deve estar se perguntando: mas essa não era a fórmula da derivada direcional? Como ela não funciona aqui?
O problema reside aqui: só podemos usar essa fórmula com o produto escalar de gradiente se for diferenciável (vai lá olhar o enunciado do teorema 1 no começo da seção). Neste caso, não é diferenciável na origem, por isso a fórmula não vale nesse ponto. Para qualquer outro ponto ela vai valer, mas nesse não...
Resposta
Demonstração.
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