Enunciado

  1. Seja P um ponto não pertenente ao plano que passa pelos pontos Q , R e S . Mostre que a distancia d do ponto P ao plano é
  2. d = a × b ∙ c a × b

    Onde a = Q R → , b = Q S → e c = Q P → .

  3. Utilize a fórmula da parte a ) do exercício para determinar a distância do ponto P ( 2,1 , 4 ) ao plano definido pelos pontos Q ( 1,0 , 0 ) , R 0,2 , 0 e S ( 0,0 , 3 ) .

Passo 1

a )

Primeiramente, vamos tentar desenhar tudo isso aí que a questão falou pra gente:

Repare que pela nossa figura, podemos dizer que a distancia entre o ponto P e o plano é dada por

d = P T →

E, se você reparar, temos um triângulo retângulo ali na nossa figura e dele podemos tirar que

cos ⁡ θ = d c

Tudo certo até aqui?

Show!

Passo 2

Acontece que a fórmula onde queremos chegar é essa aqui

d = a × b ∙ c a × b

Que é uma parada que envolve produto misto.

E o que temos até agora é uma parada que envolve cosseno.

Então vamos lembrar da definição de produto misto:

c ∙ ( a × b ) = a × b c cos ⁡ θ  

Isolando o cosseno:

cos ⁡ θ = c ∙ ( a × b ) a × b c

Passo 3

Agora igualando as duas fórmulas que temos:

c ∙ ( a × b ) a × b c = d c

d = c ∙ ( a × b ) c a × b c

d = a × b ∙ c a × b

E chagamos na fórmula que a gente queria

Passo 4

b )

Para determinar a distância do ponto P ( 2,1 , 4 ) ao plano definido pelos pontos Q ( 1,0 , 0 ) , R 0,2 , 0 e S ( 0,0 , 3 ) , vamos definir:

a = Q R → = 0,2 , 0 - 1,0 , 0 = ( - 1,2 , 0 )

b = Q S → = 0,0 , 3 - 1,0 , 0 = ( - 1,0 , 3 )

c = Q P → = 2,1 , 4 - 1,0 , 0 = ( 1,1 , 4 )

Passo 5

Agora, vamos calcular a × b ∙ c :

a × b ∙ c   = - 1 2 0 - 1 0 3 1 1 4 = ( - 1 ) 0 3 1 4 - 2 - 1 3 1 4 + 0 - 1 0 1 1

a × b ∙ c   = - 1 2 0 - 1 0 3 1 1 4 = - 1 0.4 - 3.1 - 2 - 1.4 - 3.1 + 0

a × b ∙ c   = - 1 2 0 - 1 0 3 1 1 4 = 3 + 14

a × b = 17

Passo 6

Calculando a × b :

a × b   = i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = 2 0 0 3 i - - 1 0 - 1 3 j + - 1 2 - 1 0 k

a × b   = i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = ( 2.3 - 0 ) i - - 1.3 - 0 j + 0 + 2.1 k

a × b   = i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = 6 i + 3 j + 2 k

a × b = 6 2 + 3 2 + 2 2 = 49 = 7

Passo 7

Substituindo tudo na fórmula da letra a :

d = a × b ∙ c a × b = 17 7

Resposta

b )

d = 17 7

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