Enunciado

Esboce a curva e calcule a área limitada por ela

r = 2 + cos 2 theta

Passo 1

Primeiro vamos esboçar nossa curva, depois a gente calcula a área.

Para esboçar, vamos escolhar alguns valores de theta dentro do intervalo 0 <= theta <= 2 pi e obter os valores de r correspondentes. Assim a gente plota os pontos ( r , theta ) , depois liga.

Vamos fazer dessa forma manual porque nessa questão ele não pede pra usar ferramenta gráfica, ok?

Plotando esses pontos e ligando tudo, vamos ter a curva:

Passo 2

Agora sim vamos calcular a área da curva!

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = int_a^b (1)/(2) r^2 d theta

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 3

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:

a = 0

b = 2 pi

Continuando, o r é a própria parametrização

r = 2 + cos 2 theta

Então é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) (2 + cos 2 theta)^2 d theta

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) ( 4 + 4 cos 2 theta + cos^2 2 theta ) d theta

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) 4 + 4 cos 2 theta + (1)/(2) (1 + cos 2.2 theta) d theta

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) 4 + 4 cos 2 theta + (1)/(2) (1 + cos 4 theta) d theta

A = (1)/(2) [ 4 theta + (4)/(2) sen 2 theta + (1)/(2) ( theta + (1)/(4) sen 4 theta ) ] [[2,pi],[0]]

A = (1)/(2) [ 4 theta + 2 sen 2 theta + (1)/(2) theta + (1)/(8) sen 4 theta ] [[2,pi],[0]]

A = (1)/(2) [ 4.2 pi + 2 sen 4 pi + (1)/(2) . 2 pi + (1)/(8) sen 8 pi - 4.0 - 2 sen 0 - (1)/(2) . 0 - (1)/(8) sen 0 ] [[2,pi],[0]]

A = (1)/(2) [ 8 pi + 0 + pi + 0 - 0 - 0 - 0 - 0 ] [[2,pi],[0]]

A = (9 pi)/(2)

Resposta

A = (9 pi)/(2)

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Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.3. r = s e n θ + c o s θ , 0 ≤ θ ≤ π
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.26. r = 1 + c o s θ , r = 2 - c o s θ
Encontre todos os pontos de inserção das curvas dadas.38. r = 1 + c o s θ , r = 1 - s e n θ
Encontre a área da região sombreada:
Encontre a área da região sombreada: