Seja f(x) = x + 1 / x . Prove

a) |f(x) - f(1)| ≤ |1 + 1/x||x - 1| para x > 0

b) |f(x) - f(1)| <= 3|x - 1| para x > 1 / 2

c) f é contínua em p = 1

Passo 1

Opa! Vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá a seguinte função:

f x = x + 1 x

E pede pra a gente provar algumas coisas! Vamos começar com a letra (a):

f x - f 1 ≤ 1 + 1 x x - 1 para x > 0

Vamos substituir f ( x ) e f ( 1 ) na parte esquerda da inequação:

x + 1 x - 1 + 1 1 = x + 1 x - 2

Manipulando um pouquinho, temos:

x + 1 x - 2 = x 2 + 1 - 2 x x = x - 1 2 x = x - 1 x x - 1

Voltando pra expressão original:

x - 1 x x - 1 ≤ 1 + 1 x x - 1   p a r a   x > 0

Podemos cortar o x - 1 e teremos:

x - 1 x ≤ 1 + 1 x   p a r a   x > 0

Manipulando:

x - 1 x ≤ x + 1 x   p a r a   x > 0

x - 1 ≤ x + 1 p a r a   x > 0

Quando x = 0 temos que:

x - 1 = x + 1

Quando x > 1 temos que:

x - 1 < x + 1

Dessa forma provamos que:

x - 1 x x - 1 ≤ 1 + 1 x x - 1   p a r a   x > 0

Passo 2

Para a letra (b) a gente tem que provar que:

f x - f 1 ≤ 3 x - 1 para x > 1 2

Como provamos que:

f x - f 1 ≤ 1 + 1 x x - 1

E temos agora que x > 1 2 , então:

x > 1 2

1 x < 2

1 + 1 x < 1 + 2

1 + 1 x < 3

1 + 1 x x - 1 < 3 x - 1

Se f x - f 1 ≤ 1 + 1 x x - 1 :

f x - f 1 ≤ 1 + 1 x x - 1 < 3 x - 1

Logo, provamos que:

f x - f 1 ≤ 3 x - 1

Passo 3

Finalmente vamos pra (c), aqui precisamos provar que f é contínua em p = 1 . Lembrando que:

f x = x + 1 x

p aqui é valor qualquer em que x pode assumir, então queremos provar que f ( x ) é contínua em x = 1 . Vamos usar a definição formal de continuidade pra isso:

Para cada ϵ > 0 dado, temos um δ > 0 (com δ dependendo apenas de ϵ ), tal que:

1 - δ < x < 1 + δ → f 1 -   ϵ < f x < f 1 +   ϵ

Mas, concorda comigo que se g x = 1 x é contínua em p = 1 , então f x também será contínua nesse ponto?!

Então vamos partir de g ( x ) , beleza?

O ϵ > 0 é dado, queremos achar δ > 0 . Devemos determinas δ > 0 de modo que g x permaneça entre g 1 -   ϵ e g 1 + ϵ para x entre 1 - δ e 1 + δ . Vamos então resolver a inequação:

g 1 - ϵ < g x < g 1 + ϵ

Temos:

g 1 = 1 1 = 1

Logo:

1 - ϵ < 1 x < 1 + ϵ

Invertendo todos os membros da desigualdade temos que:

1 1 + ϵ < x < 1 1 - ϵ

Assim temos:

1 1 + ϵ < x < 1 1 - ϵ

Dado ϵ > 0 e tomando-se δ = 1 - 1 1 + ϵ ficamos com:

1 - δ < x < 1 + δ → g 1 -   ϵ < g x < g 1 +   ϵ

Então g ( x ) é contínua em p = 1 , portanto f ( x ) é contínua em p = 1 .

Resposta

Desenvolvimento Acima

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