Enunciado

Suponha que f e g contínuas em R e que exista a > 0 , a ≠ 1 , tal que para todo r racional f r = a r e g r = a r . Prove que f x = g x em R

Passo 1

Nesse caso, f e g são iguais para todo x racional. Dizer que f x ≠ g p para um x irracional é um absurdo já que pelo teorema da conservação do sinal, existirá δ > 0 tal que f x ≠ g x para p - δ < x < p + δ e sabemos que nesse intervalo temos pelo menos um número racional e nesse ponto o valor de f não satisfaz f x ≠ g x .

Passo 2

Logo, se adotarmos f x ≠ g x , a função f não será contínua, mas como o enunciado determina que f e g são contínuas em R , temos que ter, obrigatoriamente,   f x = g x para todo irracional.

Se f x = g x para todo número racional e irracional, então isso acontece em todo número real.

Portanto, provamos que f x = g x em R

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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