Enunciado

Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C   no plano x y . Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide ( x - ,   y - ) de D são

x - = 1 2 A ∮ C x 2   d y                     y - = - 1 2 A ∮ C y 2   d x

onde A é a área de D .

Passo 1

O centroide nada mais é do que o centro de massa de uma região onde a função densidade é ρ x , y = 1 , então temos

x - = M y m

Onde temos que

m = ∬ D ρ ( x , y ) d A = ∬ D d A = A ( D )

M y = ∬ D x ρ ( x , y ) d A = ∬ D x   d A

Aplicando o Teorema de Green inverso na integral do momento, vamos usar

x = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Podemos escolher quanquer função que satisfaça a condição, se usarmos

P = 0

∂ Q ∂ x = x

Integrando dos dois lados

∫ ∂ Q ∂ x d x = ∫ x   d x

Q = x 2 2 + C

A solução mais simples quando C = 0 temos que uma das possíveis soluções é

∬ D x   d A = ∮ C 0   d x + x 2 2 d y

Substituindo em x -

x - = 1 A ∮ C x 2 2 d y

x - = 1 2 A ∮ C x 2   d y

Passo 2

Usando o mesmo raciocínio para y -

y - = M x m

y - = 1 A ∬ D y   d A

Para transformar em uma integral de linha

y = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Se Q = 0

y = - ∂ P ∂ y

- ∫ ∂ P ∂ y   d y = ∫ y   d y

- P = y 2 2

P = - y 2 2

Substituindo temos

y - = 1 A ∮ C - y 2 2 d x

y - = - 1 2 A ∮ C y 2   d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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