Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 22
Seja a região limitada por um caminho fechado simples no plano Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide de são
onde é a área de .
Passo 1
O centroide nada mais é do que o centro de massa de uma região onde a função densidade é , então temos
Onde temos que
Aplicando o Teorema de Green inverso na integral do momento, vamos usar
Podemos escolher quanquer função que satisfaça a condição, se usarmos
Integrando dos dois lados
A solução mais simples quando temos que uma das possíveis soluções é
Substituindo em
Passo 2
Usando o mesmo raciocínio para
Para transformar em uma integral de linha
Se
Substituindo temos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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