Enunciado

8. Seja B ⊂ ℝ3 e sejam f e g duas funções contínuas em B. Suponha que,para toda bola B1 ⊂ B,

∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z =   ∫ ∫ ∫ B 1 g x , y , z d x d y d z

Prove que f (x, y, z) = g (x, y, z) em todo ponto (x, y, z) interior a B.

Passo 1

Estamos aqui na mesma região de integração, logo temos os mesmos intervalos. Assim podemos fazer uma manipulação algébrica

∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z =   ∫ ∫ ∫ B 1 g x , y , z d x d y d z

∫ ∫ ∫ B 1 f - g   d V = 0

E como estamos numa integração de volume, o único jeito de um volume ser nulo é se a função interior também for nula. Assim

f - g = 0

f = g

Dessa forma podemos dizer que as funções são iguais. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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