Enunciado

Seja S uma superfície descrita pela equação

r → u . v = ( 2 . cos ⁡   u . cos ⁡   v , 2 . sen ⁡ u . cos ⁡   v ,   2 . s e n   ( v ) )

onde 0 ≤ u ≤ π 2 e 0 ≤ v ≤ π 2 .

  1. Determinar os vetores

∂ r → ∂ u P ,     ∂ r → ∂ v P ,     ∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P

Para u = π 4 e v = π 3 , representando-os no ponto correspondente sobre o gráfico de S.

Passo 1

Beleza galeraa!!

Na curva u nós temos:

r → u . π 3 = cos ⁡   u , sen ⁡ u ,   3

Então:

∂ r → ∂ u P = - s e n   u , cos ⁡   u ,   0

Substituindo u:

∂ r → ∂ u P = - 2 2 , 2 2 ,   0

Passo 2

Para a v-curva, teremos:

r → π 4 . v = 2 cos ⁡   v , 2 cos ⁡ v ,   2 . s e n   ( v )

Então:

∂ r → ∂ v P = ( - 2 s e n   v ,   - 2 s e n   v ,   2 . cos ⁡   v )

Substituindo o v:

∂ r → ∂ v P = - 2 × 3 2 ,   - 2 × 3 2 ,   2 × 1 2

∂ r → ∂ v P = - 6 2 ,   - 6 2 ,   1

Onde ∂ r → ∂ u P e ∂ r → ∂ v P representam os vetores lineares e tangentes ao ponto na superfície!

Passo 3

Para finalizar:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = - 2 2 , 2 2 ,   0 × - 6 2 ,   - 6 2 ,   1

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

- 2 2 , 2 2 ,   0 × - 6 2 ,   - 6 2 ,   1 = 2 2 × 1 -   0 × - 6 2 ,     0 × - 6 2 -   1 × - 2 2 ,   - 2 2 × - 6 2 -   2 2 × - 6 2

= 2 2 ,   2 2 ,   3

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 2 2 ,   2 2 ,   3

E representa o vetor normal à superfície neste ponto!

Tranquilinha ?!

Resposta

∂ r → ∂ u P = - 2 2 , 2 2 ,   0           ∂ r → ∂ v P = - 6 2 ,   - 6 2 ,   1           ∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 2 2 ,   2 2 ,   3

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Seja S uma superfície descrita pela equação r → u . v = ( u . cos ⁡v , 2 u 2 ,u . s e n( v ) ) , onde 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2 π . Determinar os vetores ∂ r → ∂ u P , ∂ r → ∂ v P , ∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂
Seja S uma superfície descrita pela equação r → u . v = ( 2 . cos ⁡u . cos ⁡v , 2 . s en ⁡ u . cos ⁡v ,2 . s e n( v ) ) onde 0 ≤ u ≤ π 2 e 0 ≤ v ≤ π 2 . Representar graficamente a superfície S.
Determinar as curvas coordenadas das superfícies dadas, nos pontos indicados:.Esfera r → u . v = ( cos ⁡ u cos ⁡ v , s en ⁡ u cos ⁡ v , s en ⁡ v ) 0 ≤ u ≤ 2 π ,- π 2 ≤ v ≤ π 2 no ponto P 1 2 , 1 2 , 2
Determinar as curvas coordenadas das superfícies dadas, nos pontos indicados:Hemisfério r → u . v = u , v , 1 - u 2 - v 2 ; P 1 2 , 1 2 , 2 2
Determinar as curvas coordenadas das superfícies dadas, nos pontos indicados:Parabolóide r → u . v = u , v , u 2 + v 2 ; P 1 ,1 ,2