Enunciado

12. Seja z = x y e^((x)/(y)) . Verifique que

x (del^3 z)/(del x^3) + y (del^3 z)/(del y del x^2) = 0 .

Passo 1

Primeiro vamos calcular (del^3 z)/(del x^3) .

Lembrando que (del^3 z)/(del x^3) = (del)/(del x) ((del)/(del x) ((del z)/(del x))) , vamos fazer aos poucos e calcular primeiro a derivada primeira.

Vamos fazer algumas mudanças de variáveis para não nos perdermos e já calcular suas respectivas derivadas.

u = x y e (del u)/(del x) = y

v = e^((x)/(y)) e, aplicando a regra da cadeia, (del v)/(del x) = (1)/(y) e^((x)/(y)) .

Ficamos, então, com:

z = u v e, aplicando a regra do produto, (del z)/(del x) = (del u)/(del x) v + u (del v)/(del x) .

Substituindo:

(del z)/(del x) = y e^((x)/(y)) + x y ((1)/(y) e^((x)/(y)))

(del z)/(del x) = y e^((x)/(y)) + x e^((x)/(y)) .

Vamos chamar a função que encontramos derivando a primeira vez de m , para não nos enrolarmos:

m = (del z)/(del x)

m = y e^((x)/(y)) + x e^((x)/(y)) .

Vamos, agora, aplicar a segunda derivada, ou seja, calcular (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto):

(del)/(del x) ((del z)/(del x)) = (del m)/(del x)

(del m)/(del x) = y ((1)/(y) e^((x)/(y))) + e^((x)/(y)) + x ((1)/(y) e^((x)/(y)))

(del m)/(del x) = e^((x)/(y)) + e^((x)/(y)) + (x)/(y) e^((x)/(y))

(del m)/(del x) = 2 e^((x)/(y)) + (x)/(y) e^((x)/(y))

(del)/(del x) ((del z)/(del x)) = 2 e^((x)/(y)) + (x)/(y) e^((x)/(y)) .

Vamos chamar a função que encontramos derivando a segunda vez de n :

n = (del m)/(del x)

n = 2 e^((x)/(y)) + (x)/(y) e^((x)/(y)) .

Vamos, agora, calcular a terceira derivada, ou seja, calcular (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto):

(del)/(del x) ((del)/(del x) ((del z)/(del x))) = (del n)/(del x)

(del n)/(del x) = 2 ((1)/(y) e^((x)/(y))) + (1)/(y) e^((x)/(y)) + (x)/(y) ((1)/(y) e^((x)/(y)))

(del n)/(del x) = (3)/(y) e^((x)/(y)) + (x)/(y^2) e^((x)/(y))

(del)/(del x) ((del)/(del x) ((del z)/(del x))) = (3)/(y) e^((x)/(y)) + (x)/(y^2) e^((x)/(y))

(del^3 z)/(del x^3) = (3)/(y) e^((x)/(y)) + (x)/(y^2) e^((x)/(y)) .

Passo 2

Agora vamos calcular (del^3 z)/(del y del x^2) .

Lembrando que (del^3 z)/(del y del x^2) = (del)/(del y) ((del)/(del x) ((del z)/(del x))) .

Do Passo 1 já temos temos (del)/(del x) ((del z)/(del x)) e podemos caminhar a partir desse resultado.

Chamando a função que encontramos derivando a segunda vez de n :

n = (del m)/(del x)

n = 2 e^((x)/(y)) + (x)/(y) e^((x)/(y)) .

Dirivando, porém tomando cuidado porque agora a derivada é em y (aplicando a regra da cadeia e a regra do produto) :

(del)/(del y) ((del)/(del x) ((del z)/(del x))) = (del n)/(del y)

(del n)/(del y) = 2 (- (x)/(y^2)) e^((x)/(y)) + (- (x)/(y^2)) e^((x)/(y)) + (x)/(y) (- (x)/(y^2)) e^((x)/(y))

(del n)/(del y) = - 3 (x)/(y^2) e^((x)/(y)) - (x^2)/(y^2) e^((x)/(y))

(del)/(del y) ((del)/(del x) ((del z)/(del x))) = - 3 (x)/(y^2) e^((x)/(y)) - (x^2)/(y^2) e^((x)/(y))

(del^3 z)/(del y del x^2) = = - 3 (x)/(y^2) e^((x)/(y)) - (x^2)/(y^2) e^((x)/(y)) .

Resposta

Portanto,

x (del^3 z)/(del x^3) + y (del^3 z)/(del y del x^2) = 0 .

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