Enunciado

Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada:

a )   γ t = 2 t + 1,3 t - 1 ,     t ≥ 0

Passo 1

O nosso objetivo aqui é fazer com que γ ' t seja igual a 1, porém se fizermos os cálculos vamos achar um resultado diferente:

γ ' t = γ ' 1 2 + γ ' 2 2

Vamos ficar com:

γ ' 1 2 + γ ' 2 2 = 2 t + 1 ' 2 + 3 t - 1 ' 2 = 2 2 + 3 2

= 4 + 9 = 13

Para que tenhamos que esse resultado dê 1 vamos aplicar a normalização, ou seja, aplicamos uma substituição, tal que quando derivarmos teremos o resultado da norma igual a 1:

Para o caso dado temos que:

γ ' γ '

Passo 2

Agora que vamos achar γ ' :

γ ' = 2 t + 1 ' , 3 t - 1 ' = 2 ,   3

γ ' γ ' = 2 ,   3 13 = 2 13 , 3 13

Agora vamos achar um δ tal que:

δ s = ∫ 2 13 d s , ∫ 3 13 d s = 2 13 s + c 1 , 3 13 + c 2

Sabemos que c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:g) um arco da cicloide r → t = 2 t - s e n t i → + 2 1 - cos ⁡ t j →
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:e) x = t 3 , y = t 2 ,1 ≤ t ≤ 3
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:i) r → t = t s e n t , t c o s t para t ∈ 0 ,π
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:h) r → t = e t ,e - t ,t 2 para t ∈ 0 ,1
Escreva a função comprimento de arco de:a) r → t = s e n t 2 , cos ⁡ t 2 ,2 t