Sejam f = (xz, zy, xy) e g = (x^2, y^2, z^2) . Determinar:

∇ × f → × g →

Passo 1

A questão nos pede pra calcular ∇ × f → × g → . Mas o que é isso? Simples, galera: é o rotacional do campo, e depois fazemos o produto vetorial com o campo g → ! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial f → × g → , ou seja, do produto vetorial entre f → e g → . Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo. Além disso, sabemos também calcular esse produto vetorial.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode estar escrito como:

f → x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 ,   f 3

E o campo g → :

g → x ,   y ,   z = g 1 ,   g 2 ,   g 3

O produto vetorial deles é:

f → × g → = i → j → k → f 1 f 2 f 3 g 1 g 2 g 3

O rotacional desse campo vai ser:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3 = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 2

Bora lá! Os campos dessa questão são:

f → = ( x z ,   z y ,   x y )

g → = x 2 ,   y 2 ,   z 2

Então,

f 1 = x z  

f 2 = z y

f 3 = x y

g 1 = x 2

g 2 = y 2

g 3 = z 2

Primeiro vamos calcular o rotacional do campo f → . Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

∂ f 3 ∂ y = ∂ x y ∂ y = x

∂ f 2 ∂ z = ∂ z y ∂ z = y

∂ f 1 ∂ z = ∂ ( x z ) ∂ z = x

∂ f 3 ∂ x = ∂ ( x y ) ∂ x = y

∂ f 2 ∂ x = ∂ ( z y ) ∂ x = 0

∂ f 1 ∂ y = ∂ ( x z ) ∂ y = 0

Agora é só substituir!

r o t   f → = ( x - y ) i → + x - y j → + 0 - 0 k →

Arrumando,

r o t   f → = x - y i → + j →

Passo 3

Agora vamos calcular o produto vetorial desse rotacional com o campo g → .

∇ f → × g → = i → j → k → x - y x - y 0 x 2 y 2 z 2

Desenvolvendo,

∇ f → × g → = x - y z 2   i → - x - y z 2   j → + x - y y 2 - x 2   k →

Resposta

∇ f → × g → = x - y z 2   i → - x - y z 2   j → + x - y y 2 - x 2   k →

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