Enunciado

Sejam f → = ( x z ,   z y ,   x y ) e g → = x 2 ,   y 2 ,   z 2 . Determinar:

∇ ⋅ f →

Passo 1

A questão nos pede pra calcular ∇ ⋅ f → . Mas o que é isso? Simples, galera: é a divergência do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial f → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode ser escrito como:

f → x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 ,   f 3

A divergência desse campo vai ser:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

f → = ( x z ,   z y ,   x y )

Então,

f 1 = x z

f 2 = z y

f 3 = x y

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

∂ f 1 ∂ x = ∂ ( x z ) ∂ x = z

∂ f 2 ∂ y = ∂ ( z y ) ∂ y = z

∂ f 3 ∂ z = ∂ ( x y ) ∂ z = 0

Passo 3

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = z + z

d i v   f → = 2 z

Fechou!

Resposta

d i v   f → = 2 z

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