Enunciado

Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.

f → x ,   y ,   z = x 2 ,   y 2 ,   z 2

Passo 1

Nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular a divergência do campo vetorial f → dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá a divergência do campo.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode estar escrito como:

f → x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 ,   f 3

A divergência desse campo vai ser:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Depois disso, vamos encontrar o rotacional do campo, que é calculado por:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3 = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

f → x ,   y ,   z = x 2 ,   y 2 ,   z 2

Então,

f 1 = x 2

f 2 = y 2

f 3 = z 2

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia!

∂ f 1 ∂ x = ∂ ( x 2   ) ∂ x = 2 x

∂ f 2 ∂ y = ∂ ( y 2 ) ∂ y = 2 y

∂ f 3 ∂ z = ∂ ( z 2 ) ∂ z = 2 z

Juntando tudo:

d i v   f → = ∂ f 1 ∂ x + ∂ f 2 ∂ y + ∂ f 3 ∂ z

Substituindo,

d i v   f → = 2 x + 2 y + 2 z

Passo 3

Beleza, achamos a divergência, agora vamos pro rotacional.

r o t   f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Bom, então vamos ter que calcular mais umas derivadas que faltaram! Vamos lá, na ordem em que aparecem na expressão!

∂ f 3 ∂ y = ∂ z 2 ∂ y = 0

∂ f 2 ∂ z = ∂ y 2 ∂ z = 0

∂ f 1 ∂ z = ∂ ( x 2 ) ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ x = ∂ ( z 2 ) ∂ x = 0

∂ f 2 ∂ x = ∂ ( y 2 ) ∂ x = 0

∂ f 1 ∂ y = ∂ ( x 2 ) ∂ y = 0

Agora é só substituir!

r o t   f → = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + 0 - 0 k →

r o t   f → = 0   i → + 0   j → + 0   k →

Acabamos!

Resposta

d i v   f → = 2 x + 2 y + 2 z

r o t   f → = 0   i → + 0   j → + 0   k →

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F x , y = ( x 2 - y 2 , 2 x y ) ao mover uma partícula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas x = a e y = a
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado b. F x , y = 2 x y 2 - y 3 ,2 x 2 y - 3 x y 2 + 2
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado a. F x , y = e x sen ⁡ y ,e x cos ⁡ y
6. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F x , y , z = y 2 ,z 2 , x ² ² Ao longo da curva obtida como interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 Com o cilindro x 2 + y 2 = a x Onde z ≥ 0,a
7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado e. F x , y , z = e y + 2 z ,x e y + 2 z ,2 x e y + 2 z