Enunciado

Sejam f e g definidas em a , + ∞ e tais que lim x → + ∞ ⁡ f x g x = 0 , lim x → + ∞ ⁡ g x = 0 e g x ≠ 0 para todo x ≥ a . Calcule, caso exista, lim x → + ∞ ⁡ f x .

Passo 1

Para calcular esse limite vamos fazer uma manipulação, vamos pegar a expressão f x e multiplicar e dividir ela por g x , assim vamos poder chegar perto dos limites que foram dados no enunciado:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ f x g x ⋅ g x

Pronto, agora temos quase da forma que podemos usar, vamos agora usar a propriedade da multiplicação:

lim x → + ∞ ⁡ f x g x ⋅ g x = lim x → + ∞ ⁡ f x g x ⋅ lim x → + ∞ ⁡ g x

Agora fica simples, nós já temos os dois valores desses limites:

lim x → + ∞ ⁡ f x g x = 0 e lim x → + ∞ ⁡ g x = 0

Vamos então substituir os valores no limite e pronto:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ f x g x ⋅ lim x → + ∞ ⁡ g x = 0 ⋅ 0 = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ f x = 0

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