Enunciado

Calcule.

int (3)/((x^2 - 1) (x^2 - 4)) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Mas antes vamos manipular um pouco a integral:

int (3)/((x^2 - 1) (x^2 - 4)) d x = int (3)/((x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2)) d x

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(3)/((x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2)) = (A)/(x + 1) + (B)/(x - 1) + (C)/(x + 2) + (D)/(x - 2)

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x^2 (x + 1)^2 :

3 = A (x - 1) (x + 2) (x - 2) + B (x + 1) (x + 2) (x - 2) + C (x + 1) (x - 1) (x - 2) + D (x + 1) (x - 1) (x + 2)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

3 = A (x - 1) (x + 2) (x - 2) + B (x + 1) (x + 2) (x - 2) + C (x + 1) (x - 1) (x - 2) + D (x + 1) (x - 1) (x + 2)

3 = A (x - 1) (x^2 - 4) + B (x + 1) (x^2 - 4) + C (x^2 - 1) (x - 2) + D (x^2 - 1) (x + 2)

3 = A (x^3 - 4 x - x^2 + 4) + B (x^3 - 4 x + x^2 - 4) + C (x^3 - 2 x^2 - x + 2) + D (x^3 + 2 x^2 - x - 2)

3 = A x^3 - 4 A x - A x^2 + 4 A + B x^3 - 4 B x + B x^2 - 4 B + C x^3 - 2 C x^2 - C x + 2 C + D x^3 + 2 D x^2 - D x - 2 D

3 = x^3 (A + B + C + D) + x^2 (- A + B - 2 C + 2 D) + x (- 4 A - 4 B - C - D) + (4 A - 4 B + 2 C - 2 D)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^3 , x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C + D = 0],[- A + B - 2 C + 2 D = 0],[- 4 A - 4 B - C - D = 0],[4 A - 4 B + 2 C - 2 D = 3]])

Vamos somar a primeira com a segunda:

2 B - C + 3 D = 0

Agora somando a terceira com a última temos:

- 8 B + C - 3 D = 3

Vamos agora somar essas duas para achar o valor de B :

- 6 B = 3 -> B = - (1)/(2)

Somando a segunda com a última achamos A :

3 A - 3 B = 3 -> 3 A = 3 + 3 B -> 3 A = 3 + 3 (- (1)/(2)) -> 3 A = (3)/(2) -> A = (1)/(2)

Multiplicando a primeira por 2 e somando com a última encontramos C :

6 A - 2 B + 4 C = 3 -> 4 C = 3 - 6 * (1)/(2) + 2 (- (1)/(2)) -> 4 C = - 1 -> C = - (1)/(4)

Por último, substituindo os valores na primeira para achar D :

D = - A - B - C = - (1)/(2) - (- (1)/(2)) - (- (1)/(4)) -> D = (1)/(4)

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (3)/((x^2 - 1) (x^2 - 4)) d x = int ((1)/(2))/(x + 1) + (- (1)/(2))/(x - 1) + (- (1)/(4))/(x + 2) + ((1)/(4))/(x - 2) d x = int (1)/(2 (x + 1)) - (1)/(2 (x - 1)) - (1)/(4 (x + 2)) + (1)/(4 (x - 2)) d x

= int (1)/(2 (x + 1)) d x + int - (1)/(2 (x - 1)) d x + int - (1)/(4 (x + 2)) d x + int (1)/(4 (x - 2)) d x

Agora vamos resolver as quatros integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(2 (x + 1)) d x = (1)/(2) int (1)/(x + 1) d x = (1)/(2) int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(2) int (1)/(u) d u = (1)/(2) ln |u| + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x + 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (1)/(2 (x - 1)) d x = - (1)/(2) int (1)/(x - 1) d x = - (1)/(2) int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (1)/(2) int (1)/(v) d v = - (1)/(2) ln |v| + C

Passo 5

Com a terceira, vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x + 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (1)/(4 (x + 2)) d x = - (1)/(4) int (1)/(x + 2) d x = - (1)/(4) int (1)/(t) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (1)/(4) int (1)/(t) d t = - (1)/(4) ln |t| + C

Passo 6

E novamente com a última vamos usar a Regra da Substituição:

r = x - 2

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(4 (x - 2)) d x = (1)/(4) int (1)/((x - 2)) d x = (1)/(4) int (1)/(r) d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(4) int (1)/(r) d r = (1)/(4) ln |r| + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (3)/((x^2 - 1) (x^2 - 4)) d x = int (1)/(2 (x + 1)) d x + int - (1)/(2 (x - 1)) d x + int - (1)/(4 (x + 2)) d x + int (1)/(4 (x - 2)) d x = (1)/(2) ln |u| - (1)/(2) ln |v| - (1)/(4) ln |t| + (1)/(4) ln |r| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (3)/((x^2 - 1) (x^2 - 4)) d x = (1)/(2) ln |u| - (1)/(2) ln |v| - (1)/(4) ln |t| + (1)/(4) ln |r| + C = (1)/(2) ln |x + 1| - (1)/(2) ln |x - 1| - (1)/(4) ln |x + 2| + (1)/(4) ln |x - 2| + C

Resposta

int (3)/((x^2 - 1) (x^2 - 4)) d x = (1)/(2) ln |x + 1| - (1)/(2) ln |x - 1| - (1)/(4) ln |x + 2| + (1)/(4) ln |x - 2| + C

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