Enunciado

Sejam f e g definidas em R com g x = 0 para todo x . Suponhas que lim x → p ⁡ f x g x = 0 . Prove que existe δ > 0 tal que

0 < x - p < δ ⟹ f x < g x

Passo 1

Vamos dar uma olhada na definição precisa de limite, temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Passo 2

Vamos supor que   δ > 0 , e vamos fazer com que ε = 1 , divindo a desigualdade f x < g x por g x :

f x g x < g x g x ↔ f x g x < 1 ↔ f x g x - 0 < 1

Agora podemos extrair que:

f x = f x g x e L = 0

Assim temos que o limite:

lim x → p ⁡ f x g x = 0

Pronto, temos que lim x → p ⁡ f x g x = 0 , e pela definição nossa suposição está correta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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