Enunciado

Sejam f e g deriváveis até 2ª ordem em ]p,b[, com g ' ' ( x ) ≠ 0 em ]p,b[. Suponha que

l i m x → p +   f x = l i m x → p + f ' x = 0 e l i m x → p + g x = l i m x → p + g ' x = 0

Ou

l i m x → p + f x = l i m x → p + f ' x = + ∞ e l i m x → p + g x = g ' x = ± ∞

Prove que, se l i m x → p + f ' ' x g ' ' x existir (finito ou infinito) então l i m x → p + f x g x existirá e l i m x → p +   f x g x =   l i m x → p + f ' ' x g ' ' x Generalize tal resultado

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Basicamente temos que mostrar que exite a razão de duas funções deriváveis de segunda ordem.

Para fazer isso vamos fazemos algumas suposições!

Passo 2

Supondo que exista

g ' ' p = f ' ' ( p ) ≠ 0

E

l i m x → p +   f x = f ' p = 0 e l i m x → p + g x = g ' p = 0

Então

l i m x → p + f ' x g ' x = f ' ' p g ' ' p

Passo 3

Para provar temos

f ' ' p = l i m ⁡ x → p + f ' ( x ) - f ' ( p ) x - p        

E

g ' ' p = l i m ⁡ x → p + g ' ( x ) - g ' ( p ) x - p      

Portanto

f ' ' p g ' ' p = l i m ⁡ x → p + f ' ( x ) - f ' ( p ) g ' ( x ) - g ' ( p )   ×   x - p x - p

como

f ' p = 0 e g ' p = 0

f ' ' ( p ) g ' ' p = l i m ⁡ x → p + f ' ( x ) g ' ( x )    

Para demostrar para o caso geral basta substituir p   por 0 ou infinito

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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