Sejam f(x) = 1 / x e g(x) = 1 / raiz(x + 2) . Determine

  1. f∘g(-1)
  2. g(f(2))
  3. f(f(x))
  4. g(g(x))

Passo 1

E aí! Pra essa questão precisamos lembrar de funções inversas:

f ∘ g ( x ) = f ( g ( x ) ) e g ∘ f ( x ) = g ( f ( x ) ) . Bora lá?

Passo 2

  1. f ∘ g ( - 1 ) = f ( g ( - 1 ) )

Vamos ver quanto vale g ( - 1 ) pra gente poder jogar o valor dele onde tiver x dentro da f .

g ( x ) = 1 x + 2 → g ( - 1 )   =   1 - 1 + 2 = 1 1 = 1

Vamos jogar 1 onde tiver x :

f ( x ) = 1 x = 1 1 = 1

f ∘ g ( - 1 ) = 1

Passo 3

(b) g ∘ f ( 2 ) = g ( f ( 2 ) )

Vamos ver quanto vale f ( 2 ) pra gente poder jogar o valor dele onde tiver x dentro da g .

f ( x ) = 1 x → f ( 2 ) = 1 2

Vamos jogar 1 2 onde tiver x :

g ( x ) = 1 x + 2 = 1 1 2 + 2 = 1 5 2 = 1 5 2

Pela propriedade de divisão de frações (repete a primeira e multiplica pela segunda invertida):

= 2 5 = 2 5

g ∘ f ( 2 ) = 2 5

Passo 4

(c ) f ∘ f ( x ) = f ( f ( x ) )

Onde tiver x na f a gente vai escrever f ( x ) , belê?

f ( x ) = 1 x → f ( f ( x ) ) = 1 f ( x ) → f ( 1 x )   = 1 1 x = x para x ≠ 0

f ∘ f ( x ) = x

Passo 5

(e) g ∘ g ( x ) = g ( g ( x ) )

Onde tiver x na g a gente vai escrever g ( x ) , belê?

g ( x ) = 1 x + 2 → g ( g ( x ) ) = 1 g ( x ) + 2 → g ( 1 x + 2 ) = 1 1 x + 2 + 2 = 1 1 + 2 x + 2 x + 2 = 1 1 + 2 x + 2 x + 2 4 (ali no denominador eu tirei o mmc)

Pela propriedade de divisão de frações (repete a primeira e multiplica pela segunda invertida):

g ∘ g ( x ) = g ( 1 x + 2 ) = x + 2 4 1 + 2 x + 2

Acabouu! É tetraa!

Resposta

  1. f ∘ g ( - 1 ) = 1
  2. g ∘ f ( 2 ) = 2 5
  3. f ∘ f ( x ) = x para x ≠ 0
  4. g ∘ g ( x ) = x + 2 4 1 + 2 x + 2
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