Determine os domínios e as imagens de f , g , f/g , g / f

f(x) = 2

g(x) = x^2 + 1

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos determinar as funções compostas e depois o domínio e a imagem de cada uma delas. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x que satisfazem a nossa f ( x ) . Isto é, faz com que f ( x ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( x ) , para cada valor de x .

O domínio da função f / g e g / f consiste na interseção dos domínios da função f e g e o denominador deve ser diferente de 0, visto que não existe divisão por 0. Em outras palavras, isto é:

D f / g = D f ∩ D g   e   g ( x ) ≠ 0

D g / f = D f ∩ D g   e   f ( x ) ≠ 0

Já o valor da imagem será analisado caso a caso.

Passo 2

A função f consiste em uma função constante. O seu domínio consiste nos números reais. E, para todo número pertencente aos números reais, o valor de f ( x ) será igual a 2. Logo, a imagem é somente o número 2.

Passo 3

A função g x = x 2 + 1 consiste em um polinômio de grau 2. Toda função polinomial possui como domínio os números reais. Além disto, esta função possui ponto de mínimo global quando x = 0 , e consequentemente, f x = 1 . Depois disto, a função cresce até o infinito. Portanto, a imagem da função consiste no intervalo [ 1 , ∞ ] .

Passo 4

Como a função g ( x ) não possui nenhum valor de x tal que g x = 0 , o domínio da função f / g consiste na interseção dos domínios das funções f e g . Consequentemente:

D f + g = R

Já a imagem, à medida em que x se afasta da origem, isto é, x ≫ 0 ou x ≪ 0 , o valor de f / g decresce e tende a 0. O máximo ocorre quando x = 0 , o que implica em f 0 g 0 = 2 . Portanto, a imagem é o intervalo ( 0,2 ] .

Passo 5

Como a função f ( x ) não possui nenhum valor de x tal que f x = 0 , o domínio da função g / f consiste na interseção dos domínios das funções f e g . Consequentemente:

D g / f = R

Já a imagem, à medida em que x se afasta da origem, isto é, x ≫ 0 ou x ≪ 0 , o valor de g / f cresce e tende ao infinito. O mínimo ocorre quando x = 0 , o que implica em g 0 f 0 = 1 / 2 . Portanto, a imagem é o intervalo [ 1 / 2 , ∞ ) .

Resposta

Função f ( x ) :

  • Domínio: Números reais;
  • Imagem: y = 2
  • Função g ( x ) :

  • Domínio: Números reais;
  • Imagem: [ 0 , ∞ ) .
  • Função f ( x ) / g ( x ) :

  • Domínio: Números reais;
  • Imagem: ( 0,2 ] .
  • Função g x / f ( x ) :

  • Domínio Números reais;
  • Imagem: [ 1 / 2 , ∞ )
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