Sejam u com uma seta acima , v-> dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que

‖u→ - v→‖ ≥ |‖u→‖ - ‖v→‖|

Passo 1

Calculando o módulo pelo produto vetorial temos

u → - v → 2 = u → - v → ⋅ u → - v →

Aplicando a distributiva

= u → ⋅ u → - 2   u → ⋅ v → + v → ⋅ v →

= u → 2 - 2   u → ⋅ v → + v → 2

Usando a desigualdade de Schwarz, que diz

u → ⋅ v → ≤ u →   v →

Podemos dizer que

2   u → ⋅ v → ≤ 2   u →   v →

- 2   u → ⋅ v → ≥ - 2   u →   v →

Somando u → 2 e v → 2

u → 2 - 2   u → ⋅ v → + v → 2 ≥ u → 2 - 2   u →   v → + v → 2

Do lado esquerdo temos o que começamos e do lado direito, um quadrado perfeito

u → - v → 2 ≥ u → - v → 2

Tirando a raiz quadrada

u → - v → ≥ u → - v →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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