Enunciado

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área do triângulo, encontre

lim θ → 0 + ⁡ A ( θ ) B ( θ )

Passo 1

E ai galerinha, bora resolver essa questãozinha

Mas vamos fazer de um jeito diferente, antes de substituir todos os valores, vamos resolver ela por teoria, e depois vemos na prática como de fato ela ficará, ok?

Para resolver esse problema, primeiro precisamos encontrar as fórmulas para as áreas do semicírculo e do triângulo em termos de θ, e então calcular o limite conforme θ se aproxima de 0 + .

Dado que o semicírculo tem diâmetro P Q , seu raio é metade do comprimento do segmento P Q , que podemos chamar de r ., como mostra a imagem dada no enunciado

Portanto, o raio do semicírculo é r / 2 .

A área de um semicírculo é dada por:

A θ = 1 2 π r a i o 2

Substituindo o raio pelo valor encontrado, temos:

A θ = 1 2 π r 2 2 = π r 2 8

Passo 2

Para o triângulo isósceles P Q R , como é um triângulo isósceles, podemos dividir o triângulo em dois triângulos retângulos idênticos e calcular a área de um deles.

Seja h a altura do triângulo (que é a distância do ponto médio de P Q   ao vértice R ).

A área do triângulo é dada por:

B θ = 1 2 × b a s e × ( a l t u r a )

B θ = 1 2 × P Q × h

Para encontrar a base do triângulo, precisamos usar um pouco de trigonometria.

Passo 3

Seja θ o ângulo entre P Q   e   Q R .

Como o triângulo é isósceles, temos:

θ = ∠ Q P R = ∠ Q R P

Podemos usar o cosseno do ângulo para encontrar a base:

P Q = 2 × r a i o × cos ⁡ ( θ ) = 2 r cos ⁡ ( θ )

Portanto, a área do triângulo é:

B θ = 1 2 × 2 r cos ⁡ θ × h

= r cos ⁡ ( θ ) × h

Passo 4

Agora, para calcular o limite lim θ → 0 + ⁡ A θ B θ precisamos substituir as expressões que encontramos para A ( θ ) e B ( θ ) e então calcular o limite:

lim θ → 0 + ⁡ π r 2 8 r cos ⁡ θ × h

lim θ → 0 + ⁡ π r 2 8 r cos ⁡ θ × h

π r 2 8 r × h lim θ → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ θ

Sabemos que lim θ → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ θ = 1 , então:

lim θ → 0 + ⁡ A θ B θ = π r 2 8 r × h

= π r 8 h

Portanto, esse é o valor do limite.

Passo 5

Agora vamos aplicar na pratica todo o nosso conhecimento obtido dos passos anteriores, portanto a atividade nos pede para encontrarmos primeiramente a área do triangulo e do semicírculo do nosso ‘sorvete’ e após isso calcular o limite de seu consciente.

A área de um triângulo é dada por:

B ∙ H 2

E a área de uma semicircunferência:

π r 2 2

Então primeiramente, devemos relacionar A ( θ ) e B ( θ ) com θ .

Passo 6

A ( θ ) é a área do semicírculo cujo raio é a metade do segmento P Q :

A θ = π P Q 2 2 2

O segmento P Q tem o comprimento de:

sen ⁡ θ 2 = P Q 2 10

P Q = 20 sen ⁡ θ 2

Então o raio do semicírculo fica:

P Q 2 = 10 sen ⁡ θ 2

E área vai ser:

A θ = π 10 sen ��� θ 2 2 2

A θ = π 100 sen 2 ⁡ θ 2 2

A θ = 50 π sen 2 ⁡ θ 2

Passo 7

B ( θ ) é a área do triângulo cuja altura h é a distância do ponto R até o ponto médio do segmento P Q :

B θ = P Q × h 2

Então a área fica assim:

B θ = 20 sen ⁡ θ 2 × 10 cos ⁡ θ 2 2

B θ = 100 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

Passo 8

Então, a razão entre as áreas é:

A θ B θ = 50 π sen 2 ⁡ θ 2 100 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

A θ B θ = π sen ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 2

A θ B θ = π 2 tg ⁡ θ 2

Logo:

lim θ → 0 + ⁡ A θ B θ

= lim θ → 0 + ⁡ π 2 tg ⁡ θ 2

= π 2 ⁡ tg ⁡ 0

= 0

lim θ → 0 + ⁡ A θ B θ = 0

Resposta

lim θ → 0 + ⁡ A θ B θ = 0

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