Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.3 - Ex. 50

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O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área do triângulo, encontre

lim θ → 0 + ⁡ A ( θ ) B ( θ )

Passo 1

Primeiramente, devemos relacionar A ( θ ) e B ( θ ) com θ :

-   A ( θ ) : É a área do semicírculo cujo raio é a metade do segmento P Q :

A θ = π P Q 2 2 2

O segmento P Q tem o comprimento de:

sen ⁡ θ 2 = P Q 2 10

P Q = 20 sen ⁡ θ 2

Então:

A θ = π 10 sen ⁡ θ 2 2 2

A θ = π 100 sen 2 ⁡ θ 2 2

A θ = 50 π sen 2 ⁡ θ 2

Passo 2

-   B ( θ ) : É a área do triângulo cuja altura h é a distância do ponto R até o ponto médio do segmento P Q :

B θ = P Q × h 2

B θ = 20 sen ⁡ θ 2 × 10 cos ⁡ θ 2 2

B θ = 100 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

Então, a razão entre as áreas é:

A θ B θ = 50 π sen 2 ⁡ θ 2 100 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

A θ B θ = π sen ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 2

A θ B θ = π 2 tg ⁡ θ 2

Passo 3

Logo:

lim θ → 0 + ⁡ A θ B θ = lim θ → 0 + ⁡ π 2 tg ⁡ θ 2 = π 2 lim θ → 0 + ⁡ tg ⁡ θ 2

lim θ → 0 + ⁡ A θ B θ = 0

Resposta

lim θ → 0 + ⁡ A θ B θ = 0

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