Responde Aí

Enunciado

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

g x = 200 + 8 x 3 + x 4

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde g é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

g ' x = 24 x 2 + 4 x 3

g ' x = 4 x 2 6 + x

Estudando o sinal temos a tabela:

Portanto, g é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , - 6 e crescente no intervalo - 6 , ∞ .

Passo 2

Item b:

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

g ' x = 0

4 x 2 6 + x = 0

x = 0 ou x = - 6

Como g cresce até x = 0 e continua crescendo a partir dele então x = 0 não é mínimo nem máximo local.

Como g decresce até x = - 6 e cresce a partir dele, x = - 6 é ponto de mínimo local.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

g ' ' x = 48 x + 12 x 2

g ' ' x = 12 x ( 4 + x )

Estudando o sinal de g ' ' temos:

Portanto, g possui concavidade para baixo em valores de x no intervalo - 4,0 e concavidade para cima para valores de x no intervalo - ∞ , - 4 e 0 , ∞ . E os pontos de inflexão são x = 0 e x = - 4 .

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) g é decrescente para valores de x no intervalo - ∞ , - 6 e crescente no intervalo - 6 , ∞ .

(b) x = - 6 é ponto de mínimo local.

(c) g possui concavidade para baixo em valores de x no intervalo - 4,0 e concavidade para cima para valores de x no intervalo - ∞ , - 4 e 0 , ∞ . E os pontos de inflexão são x = 0 e x = - 4 .

(d)

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