d) ∫ c o s x sen ⁡ 2 x d x

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

s e n a + b = s e n a ⋅ cos ⁡ b + s e n b ⋅ cos ⁡ a

s e n a - b = s e n a ⋅ cos ⁡ b - s e n b ⋅ cos ⁡ a

Somando as duas:

s e n a + b + s e n a - b = 2 ⋅ s e n a ⋅ cos ⁡ b

Logo,

s e n a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ s e n a + b + s e n a - b

Repara que podemos escrever   c o s x ⋅ sen ⁡ 2 x como sen ⁡ 2 x ⋅ c o s x e usar essa relação aqui de cima. Viu?!

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

sen ⁡ 2 x ⋅ c o s x = 1 2 ⋅ s e n 2 x + x + s e n 2 x - x

Isto é,

s e n 7 x ⋅ c o s 2 x = 1 2 ⋅ s e n 3 x + s e n x

Não esquece: ∫ s e n x   d x = - c o s ⁡ ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = ∫ s e n 2 x cos ⁡ x d x = ∫ 1 2 ⋅ s e n 3 x + s e n x d x = 1 2 ⋅ ∫ s e n 3 x + s e n x d x

Logo,

I = 1 2 ⋅ ∫ s e n 3 x d x + 1 2 ⋅ ∫ s e n x d x = 1 2 ⋅ - cos ⁡ 3 x 3 + 1 2 ⋅ - cos ⁡ x 1 + c

Por fim, temos:

I = - cos ⁡ 3 x 6 - cos ⁡ x 2 + c

Resposta

- cos ⁡ 3 x 6 - cos ⁡ x 2 + c

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