Enunciado

Quais das séries nos Exercícios 11-40 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando uma resposta, lembre-se de que pode existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência da série.)

∑ n = 1 ∞ n   t g 1 n

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício?! Relembrando que uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números:

a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n + ⋯

Onde a n é o n -ésimo termo da série.

Sabemos que há uma variedade de testes para determinarmos a convergência ou divergência de uma série infinita. Antes de iniciarmos este exercício iremos relembrar de alguns testes.

  • Teste do n -ésimo termo:
  • ∑ n = 1 ∞ a n

    • A série converge, quando a n → 0 ;
    • A série diverge, se lim n → ∞ ⁡ a n não existe ou é diferente de zero.
    • Série geométrica:
    • ∑ n = 1 ∞ a r n

    • A série converge, quando r < 1 ;
    • A série diverge, quando   r ≥ 1 .
    • Série p :
    • ∑ n = 1 ∞ 1 n p

    • A série converge, quando p > 1 ;
    • A série diverge, quando p ≤ 1 .
    • Teste da integral seja a n uma sequência de termos positivos. Suponha que a n = f ( n ) , onde f é uma função contínua, positiva e decrescente de x   para todo x ≥ N (sendo N um inteiro positivo). Então:

    ∑ n = 1 ∞ a n

  • A série converge, se ∫ 1 ∞ f ( x )   d x for convergente ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x = M );
  • A série diverge, se ∫ 1 ∞ f ( x )   d x for divergente ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x → ∞ ).

Passo 2

Sendo assim, para a série:

∑ n = 1 ∞ n   t g 1 n

E iremos utilizar o teste do n -ésimo termo:

lim n → ∞ ⁡ n tan ⁡ 1 n = ∞ ∙ 0 → l i m i t e   i n d e f i n i d o

Como o limite é indefinido, iremos utilizar a regra de L’Hopital onde:

lim n → ∞ ⁡ f x g x = lim n → ∞ ⁡ f ' x g ' x

Ajustando nosso limite:

lim n → ∞ ⁡ tan ⁡ 1 n 1 / n

Considerando:

f x = tan ⁡ 1 n g x = 1 n                        

Pela regra das derivadas, sabemos:

y = tan ⁡ u → y ' = u ' sec 2 ⁡ u

Então:

f ' x = - 1 n 2 ∙ sec 2 ⁡ 1 n

E:

g ' x = - 1 n 2

Substituindo na equação do limite:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 ∙ sec 2 ⁡ 1 n - 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 ∙ sec 2 ⁡ 1 n ∙ - n 2 1

lim n → ∞ ⁡ sec 2 ⁡ 1 n = 1

Como lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios de Livros Relacionados

Se ∑ n = 1 ∞ a n converge, e se a n ≠ 1 e a n0 para todo n ,a. Mostre que ∑ n = 1 ∞ a n 2 convergeb. ∑ n = 1 ∞ a n 1 - a n converge? Explique.
Quais séries nos exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. ∑ n = 0 ∞ 1 2 2
Nos exercícios 35-40, encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma. ∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n + 1
Nos exercícios 35-40, encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma. ∑ n = 1 ∞ t g n - t g n -
Encontre a soma de cada série nos exercícios 41-48. ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 n ² ( n + 1 ) ² ² ²