Enunciado

Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.

33. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 2 + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Porque se a série é absolutamente convergente, então a série é convergente. Mas se a série não for absolutamente convergente. Em seguida, verificaremos se a série é convergente ou divergente.

Lembrando que ∑ a n é absolutamente convergente se ∑ a n   for convergente. Portanto, a série dada será absolutamente convergente quando a série seguinte for convergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 2 + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n n n 2 + 1

Passo 2

Usando o teste da comparação de limites com b n = 1 n 2 , nós temos que

L =   lim n → ∞ ⁡ 1 n n 2 + 1 1 n 2 = =   lim n → ∞ ⁡ 1 n n 2 + 1 × n 2

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

L = lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1

Dividindo tanto o numerador e o denominador por n

L = lim n → ∞ ⁡ n n n 2 + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 n 2 + 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 2

Com isso, podemos fazer a substituição direta

L = 1 1 + 0 = 1 ≠ 0 ≠ ∞

Portanto, a série absoluta converge pela parte (1) do teste de comparação de limite.

Resposta

Absolutamente convergente!

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 1-10 convergem ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.