Enunciado

Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ n - 1 ! ( n + 2 ) !

Passo 1

Fala gente tudo bem? Nesse exercício ele quer que apliquemos um método de comparação para descobrir se a série diverge ou converge, então bora.

Vamos fazer o teste da comparação limite com a série-p convergente ∑ n = 1 ∞ 1 n 3

n - 1 ! ( n + 2 ) ! 1 n 3   = l i m n → ∞ n 3 n - 1 ! n + 2 n + 1 n n - 1 !

= l i m n → ∞ n 3 n + 2 n + 1 n = l i m n → ∞ n 2 n 2 + 3 n + 2

Derivando para simplificar a função o máximo possível:

l i m n → ∞ d d n n 2 d d n n 2 + 3 n + 2 = l i m n → ∞ d d n 2 n d d n ( 2 n + 3 ) = 2 2 = 1

Portanto, a série converge, pois o limite é maior do que 1.

Vamos continuar!

Resposta

Converge

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