Enunciado

Mostre que, se a n > 0 e ∑ a n for convergente, então ∑ ln ⁡ 1 + a n é convergente.

Passo 1

Vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não e então calculamos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Usando o teste da comparação por limite, podemos comparar a série ∑ a n dada com a série ∑ ln ⁡ 1 + a n , então

b n = ln ⁡ 1 + a n

Então aplicando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ a n ln ⁡ 1 + a n

Já que para a primeira série convergir, é preciso que lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , temos uma indeterminação da forma 0 / 0 e podemos aplicar L’Hospital

= lim n → ∞ ⁡ a n ' 1 1 + a n a n ' = lim n → ∞ ⁡ ( 1 + a n ) = 1

Como 1 > 0 e a série ∑ a n converge, a série ∑ ln ⁡ 1 + a n também converge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1