Enunciado

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 1-4 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

4. ∑ n = 2 ∞ log n ⁡ ( n ! ) n 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, pretendemos que nenhum fatorial apareça no enésimo termo a n . Portanto, tentaremos comparar fatoriais com algumas outras expressões. De acordo com a definição do fatorial, temos:

n ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n - 1 ∙ n

Portanto, para n ≥ 2

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n - 1 ∙ n < n ∙ n ∙ n ∙ … ∙ n ∙ n

Com isso, nós temos que

n ! < n n   ( 1 )

Como comparamos os fatoriais com n n (para n ≥ 2 ), então poderíamos determinar a convergência da ordem usando o Teste da Comparação Direta.

Passo 2

Para relembrar o teste da comparação direta, vamos considerar duas séries: ∑ a n e ∑ b n . Sendo duas séries com termos não negativos tais que para cada número natural mantém que

a n ≤ b n

Se a série ∑ b n converge, então a série ∑ a n também converge, caso a série ∑ a n divergir, logo, a série ∑ b n também irá divergir.

Para encontrar b n , vamos agir na expressão (1) com uma função logarítmica. Como a base da função logarítmica é n ≥ 2 , então a função logarítmica é crescente e o sinal de desigualdade permanece inalterado:

log n ⁡ n ! < log n ⁡ n n

Usando as propriedades dos logaritmos, nós temos que

log n ⁡ n ! < n ∙ log n ⁡ n   ( 2 )

Como uma das propriedades da função logarítmica é a propriedade log a ⁡ a = 1 , podemos escrever a desigualdade (2) como:

log n ⁡ n ! < n

Dividindo os dois lados por n 3

log n ⁡ n ! n 3 < n n 3 → log n ⁡ n ! n 3 < 1 n 2

Passo 3

Observe que ambas as séries ∑ b n e   ∑ a n têm termos não negativos porque n ≥ 2 e a função logarítmica log n ⁡ x é positiva para todo x ≥ 1 (porque a base é maior que 1).

Uma vez que todas as condições do Teste de Comparação Direta são atendidas (os termos são não negativos e a n < b n ), então podemos aplicar o Teste de Comparação Direta. A série

∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

É uma p-série com p = 2 , como p = 2 > 1 , então a série ∑ n = 1 ∞ b n converge, portanto, a série ∑ n = 1 ∞ a n também converge.

Resposta

∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

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