Enunciado

Sob certas circunstâncias, quando duas molas paralelas, com constantes k 1 e k 2 , suportam um único peso W , a constante de elasticidade efetiva do sistema é dada por k = 4 k 1 k 2 k 1 + k 2 . Um peso de 625 g distende uma mola em 0,5 m e uma outra mola em 1 6 m . As molas estão presas a um suporte rígido comum e uma chapa metálica é atada às duas molas simultaneamente. Como mostrado na figura 5.7, um peso de 625 g é atado ao centro da chapa. Determine a constande de elasticidade efetiva do sistema. Encontre a equação de movimento se o peso for solto a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de 2 m s para baixo.

Passo 1

Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. A questão nos fornece o seguinte:

k 1 = 40 N m

k 2 = 120 N m

Aplicando na equação que determina k efetivo do sistema, teremos:

k = 4 k 1 k 2 k 1 + k 2

k = 4 . 40.120 160 = 120 N m

Como m = 20 32   k g , então nossa equação será:

x ' ' + 192 x = 0

Show!

Passo 2

Resolvendo essa equação, teremos:

x 2 + 192 = 0

O que nos dá:

x 1 = 8 3 i

x 2 = - 8 3 i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ 8 3 t + c 2 s e n   8 3 t

Top, top!

Passo 3

O que precisamos fazer agora é encontrar as constantes c 1 e c 2 , galera! Para isso precisamos de condições iniciais, certo? De acordo com o enunciado tiramos que:

x 0 = 0

x ' 0 = 2

Aplicando a primeira condição, teremos:

0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = 0

Agora aplicando a segunda condição, teremos:

x ' t = - 8 3 c 1 s e n   8 3 t + 8 3 c 2 cos ⁡ 8 3 t

2 = 0 + 8 3 c 2 cos ⁡ 0

c 2 = 3 12

Logo a equação do movimento será:

x t = 3 12 sen ⁡ 8 3 t

E está aí nossa resolução!

Resposta

x t = 3 12 sen ⁡ 8 3 t

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