Enunciado

Um peso de 0,5 k g atado a uma mola está em movimento harmônico simples. Determine a equação de movimento se a constante da mola for 1 N m e o peso for solto 0,5 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 1,5 m s para baixo, Expresse a solução na forma 8 .

Passo 1

Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. O enunciado nos diz que m = 0,5 k g e k = 1 N m , logo:

1 2 x ' ' + x = 0

x ' ' + 2 x = 0

Resolvendo essa equação, teremos:

x 2 + 2 = 0

O que nos dá:

x 1 = 2 i

x 2 = - 2 i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n   2 t

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Passo 2

Agora precisamos determinar o valor das constantes c 1 e c 2 , certo? Para isso vamos utilizar as condições iniciais que o enunciado deu, saca só:

x 0 = - 1

x ' 0 = - 2

Aplicando a primeira condição, teremos:

- 1 = c 1

Agora aplicando a segunda condição, teremos:

x ' t = - 2 c 1 s e n   2 t + 2 c 2 cos ⁡ 2 t

- 2 = 2 c 2

c 2 = - 2

Logo a equação do movimento será:

x t = - cos ⁡ 2 t - 2 s e n   2 t

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Passo 3

O enunciado quer que escrevamos a equação nesse formato aqui ó:

x t = A . s e n ω t + θ

No qual:

A = c 1 + c 2

E θ é um ângulo de fase definido por:

tan ⁡ θ = c 1 c 2

Encontrando A :

A = 1 + 2 = 3

Agora encontrando θ :

tan ⁡ θ = - 1 - 2 = 2

θ = a r c tan ⁡ 2 = 0,95

Logo a expressão no formato 8 será:

x t = 3 s e n   2 t + 0,95

E está aí, galera! 😉

Resposta

x t = 3 s e n   2 t + 0,95

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