Enunciado

Sombra em movimento Uma luz está acesa no topo de um poste de 50 pés de altura. Uma bola cai da mesma altura em um ponto situado a 30 pés de distância do poste. (Veja a figura a seguir.) A que velocidade a sombra da bola se desloca no solo 1/2 s depois? (Considere que, durante a queda, a bola percorreu s = 16 t 2 pés em t segundos.)

Passo 1

Como todos sabemos a luz em pequenas distâncias percorre uma linha reta e no instante que a bola encontra-se na mesma altura do poste a sombra da bola encontra-se no infinito. A medida que a bola vai descendo surge um ângulo teta no poste que indica o quanto a sombra esta distante. Até um momento que a sombra encontra-se na bola que é quando toca no chão.

Passo 2

A altura da bola varia de acordo com sua equação de movimento:

h = 50 - 16 t 2

O que no tempo de 0.5 s nos dá:

h = 50 - 16   × 0.5 2 = 46 f t

Com essa informação conseguimos calcular a distância da sombra de acordo com os triângulos do desenho a seguir.

Pela proporcionalidade dos triângulos podemos tirar que:

46 x = 50 30 + x

Logo: x=345m

Passo 3

Agora vamos montar um outro triângulo com os valores que variam com o tempo:

Com esse triângulo podemos fazer a mesma relação de forma mais generalizada:

50 30 + x = 50 - 16 t 2 x

Fazendo multiplicação cruzada temos:

50 x = 1500 - 480 t 2 + 50 x - 16 x t 2

Cortando os termos iguais e passando negativo para o outro lado ficamos com:

16 x t 2 + 480 t 2 = 1500

Isolando t 2 da equação ficamos com:

t 2 = 1500 16 x + 480

Derivando essa equação no tempo temos:

2 t = 1500 × - 16 x + 480 - 2 × 16 d x d t

Substituindo agora os valores encontrados no passo anterior:

1 = - 1500 16 × 345 + 480 2 × 16 d x d t

Encontramos:

d x d t = - 1500 f t s

Resposta

d x d t = - 1500 f t s

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