Enunciado

Sombra de um prédio Em uma manhã, um prédio com 80 pés de altura projeta uma sombra de 60 pés de comprimento. Nesse instante, o ângulo θ   que os raios solares projetam no solo aumenta a uma taxa de 0,27°/min. Qual a taxa de dim diminuição da sombra? (Lembre-se de usar radianos. Expresse sua resposta em polegadas por minuto, arredondando para a primeira casa decimal.)

Passo 1

Dados da questão:

y p r e d i o = 80   f t

x s o m b r a = 60 f t  

d θ d t = + 0.27 ° m i n

Conversão de graus para radianos:

r a d = g r a u s × π 180

Logo: 0.27 ° = 0.27 × π 180 ≈ 4.71 × 10 - 3   r a d

Uma vez que é dito que o ângulo aumenta com o tempo.

Pede-se:

d x d t

Passo 2

Como a questão pede a variação do tamanho da sombra (que chamamos de x) e nos forneceu o tamanho do prédio (que é fixo) e a taxa de variação da sombra, é mais inteligente utilizarmos algo que correlaciona os três, como por exemplo a função tangente.

t g   θ = y x

O que pode ser escrito como:

t g   θ = 80 x

Uma vez que y é fixo

Agora como ele pede a variação do tamanho da sombra no instante em que ela tem o tamanho 60, isso nos abre a possibilidade de calcular o ângulo θ .

Note que o triângulo é formado pelos catetos 60,80. O que é bem parecido com o famoso triangulo 3,4,5 só que multiplicado por 20. Logo nossa hipotenusa é de 100. O que nos dá as seguintes relações trigonométricas. s e n θ = 4 5   ;     cos ⁡ θ = 3 5 ;       t g θ = 4 3

Passo 3

Derivando a função tangente no tempo teremos:

1 cos 2 ⁡ θ     d θ d t = 80 × - 1 x 2 d x d t  

Substituindo os valores nessa equação:

1 3 5 2 r a d - 2 × 0.27 × π 180 r a d m i n   = - 80 [ f t ] × 1 60 2 f t - 2 d x d t

Fazendo a conta encontramos:

d x d t = - 0.59 f t m i n

Como a questão quer a resposta em polegadas e não em pés temos que lembrar que 1 pé equivale a 12 polegadas. Logo basta multiplicar esse resultado por 12 e alterar a unidade de medida.

d x d t = 7.1 p o l m i n

Resposta

d x d t = 7.1 p o l m i n

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