Suponha que f x = ∫ 1 x e 3 t 9 t 4 + 1 d t e g(x) = x^n \* e^(3x) . Se:

lim x → + ∞ ⁡ f ' x g ' x = 1

ache n .

Passo 1

Então galera, para descobrirmos n , primeiro temos que resolver esse limite aí, certo? Para resolver esse limite, precisamos determinar f ' ( x ) e g ' ( x ) . Para descobrirmos g ' ( x ) é tranquilão, basta utilizarmos a regra do produto, não é mesmo? No entanto, para determinarmos f ' ( x ) , o buraco é um pouco mais embaixo e veremos porquê! Descobrindo g ' ( x ) , teremos:

g ' x = u ' . v + u . v '

No qual:

u = x n ⇒ u ' = n x n - 1

v = e 3 x ⇒ v ' = 3 e 3 x

Substituindo na regra do produto, teremos:

g ' x = n x n - 1 . e 3 x + x n . 3 e 3 x

∴ g ' x = e 3 x x n . ( 3 + n x - 1 )

Passo 2

Agora que encontramos g ' ( x ) , vamos determinar f ' ( x ) . Uma das maneiras de resolver isso seria resolvendo a integral que o problema nos dá, no entanto, essa é uma integral muito difícil de se resolver e só nos faria perder tempo. Para determinarmos f ' ( x ) com mais facilidade, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo, saca só:

f ' x = e 3 x 9 x 4 + 1

Uai, da onde saiu esse resultado? O teorema fundamental do cálculo, caso você não esteja lembrado, nos diz que a derivada da primitiva é igual a função do integrando. Esse foi o raciocínio utilizado para descobrir f ' ( x ) ! Substituindo os valores de g ' ( x ) e f ' ( x ) no limite, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ e 3 x 9 x 4 + 1 e 3 x x n . ( 3 + n x - 1 ) = lim x → + ∞ ⁡ 9 x 4 + 1 x n . ( 3 + n x - 1 )

Vamos dividir todos os membros por x ² . Se fizermos isso, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 9 + x - 4 x n - 2 . ( 3 + n x - 1 )

Utilizando as propriedades dos limites, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 9 + x - 4 ( 3 + n x - 1 ) . lim x → + ∞ ⁡ 1 x n - 2

9 3 . lim x → + ∞ ⁡ 1 x n - 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x n - 2

Passo 3

Agora chegamos em um limite que nos possibilita analisar o problema com mais profunidade. Se tomarmos n > 2 , o resultado do limite será:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x n - 2 = 0

Uma vez que teríamos algo pequeno dividido por algo muito grande! No entanto, se fizermos n < 2 , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x n - 2 = + ∞

Mas como a questão nos diz que:

lim x → + ∞ ⁡ f ' x g ' x = 1

Então se compararmos esse limite com o que chegamos no passo 2, a conclusão será que n = 2 , porque aí ficaria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 - 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 = 1

Resposta

n = 2

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