Enunciado

Suponha que f (x) = int_1^x e^(3 t) sqrt(9 t^4 + 1) d t e g (x) = x^n e^(3 x) . Se:

underset(x -> + oo)(lim) [(f^' (x))/(g^' (x))] = 1

ache n .

Passo 1

Então galera, para descobrirmos n , primeiro temos que resolver esse limite aí, certo? Para resolver esse limite, precisamos determinar f ' ( x ) e g ' ( x ) . Para descobrirmos g ' ( x ) é tranquilão, basta utilizarmos a regra do produto, não é mesmo? No entanto, para determinarmos f ' ( x ) , o buraco é um pouco mais embaixo e veremos porquê! Descobrindo g ' ( x ) , teremos:

g^' (x) = u^' . v + u . v '

No qual:

u = x^n => u^' = n x^(n - 1)

v = e^(3 x) => v^' = 3 e^(3 x)

Substituindo na regra do produto, teremos:

g^' (x) = n x^(n - 1) . e^(3 x) + x^n . 3 e^(3 x)

:. g^' (x) = e^(3 x) x^n . ( 3 + n x^(- 1) )

Passo 2

Agora que encontramos g ' ( x ) , vamos determinar f ' ( x ) . Uma das maneiras de resolver isso seria resolvendo a integral que o problema nos dá, no entanto, essa é uma integral muito difícil de se resolver e só nos faria perder tempo. Para determinarmos f ' ( x ) com mais facilidade, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo, saca só:

f^' (x) = e^(3 x) sqrt(9 x^4 + 1)

Uai, da onde saiu esse resultado? O teorema fundamental do cálculo, caso você não esteja lembrado, nos diz que a derivada da primitiva é igual a função do integrando. Esse foi o raciocínio utilizado para descobrir f ' ( x ) ! Substituindo os valores de g ' ( x ) e f ' ( x ) no limite, teremos:

underset(x -> + oo)(lim) [(e^(3 x) sqrt(9 x^4 + 1))/(e^(3 x) x^n . ( 3 + n x^(- 1) ))] = underset(x -> + oo)(lim) [(sqrt(9 x^4 + 1))/(x^n . ( 3 + n x^(- 1) ))]

Vamos dividir todos os membros por x ² . Se fizermos isso, teremos:

underset(x -> + oo)(lim) [(sqrt(9 + x^(- 4)))/(x^(n - 2) . ( 3 + n x^(- 1) ))]

Utilizando as propriedades dos limites, teremos:

underset(x -> + oo)(lim) [(sqrt(9 + x^(- 4)))/(( 3 + n x^(- 1) ))] . underset(x -> + oo)(lim) [(1)/(x^(n - 2))]

(sqrt(9))/(3) . underset(x -> + oo)(lim) [(1)/(x^(n - 2))] = underset(x -> + oo)(lim) [(1)/(x^(n - 2))]

Passo 3

Agora chegamos em um limite que nos possibilita analisar o problema com mais profunidade. Se tomarmos n > 2 , o resultado do limite será:

underset(x -> + oo)(lim) [(1)/(x^(n - 2))] = 0

Uma vez que teríamos algo pequeno dividido por algo muito grande! No entanto, se fizermos n < 2 , teremos:

underset(x -> + oo)(lim) [(1)/(x^(n - 2))] = + oo

Mas como a questão nos diz que:

underset(x -> + oo)(lim) [(f^' (x))/(g^' (x))] = 1

Então se compararmos esse limite com o que chegamos no passo 2, a conclusão será que n = 2 , porque aí ficaria:

underset(x -> + oo)(lim) [(1)/(x^(2 - 2))] = underset(x -> + oo)(lim) [(1)/(1)] = 1

Resposta

n = 2

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