Enunciado

Suponha que a área da região entre o gráfico de uma função continua positiva f e o eixo x de x = a até x = b seja 4 unidades quadradas. Determine a área entre as curvas y = f ( x ) e y = 2 f ( x ) de x = a até x = b .

A = ∫ a b [ 2 f x - f ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x = 4

Passo 1

Perceba que queremos determinar a área da região entre y = f x e y=2 f ( x ) Sendo assim precisamos saber quem está “acima” de quem. Pois pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Como y=2 f ( x ) atinge valores duas vezes maiores que y = f x   então podemos concluir que ela é a função que está “acima”. Sendo assim a integral será da forma:

A = ∫ a b [ 2 f x - f ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x = 4   u n 2

Logo,

Determine a área entre as curvas y = f ( x ) e y = 2 f ( x ) de x = a até x = b   é a mesma a de f e o eixo x de x = a até x = b   .

Resposta

∫ a b 2 f x - f x = 4   u n 2

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