Enunciado

Suponha que os dois pontos x 1 , y 1 e x 2 , y 2 situem-se no gráfico da reta y = m x + b . Use a fórmula do comprimento de arco para determinar a distância entre os dois pontos.

Passo 1

A distância entre os pontos vai ser o comprimento do arco da reta que ele deu, saindo do ponto 1 e terminando no ponto 2 .

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, e a derivada da f x , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = x 1 , que é o ponto inicial, até x = x 2 , que é o ponto final.

Vamos para a derivada.

f x = m x + b

Derivando, vamos ter:

f ' x = m

Vamos usar m por nequnato, mas quando terminarmos as contas, precisamos achar m em função das coordenadas dos dois pontos.

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ x 1 x 2 1 + m 2 d x

Como x é sempre positivo no intervalo de integração, podemos cortsar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L = ∫ x 1 x 2 1 + m 2 d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

L = ∫ x 1 x 2 1 + m 2 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 1 + m 2 d x

Aquela expressão com m é um número, então:

∫ 1 + m 2 d x = 1 + m 2 ∫ d x = 1 + m 2 x + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

L = ∫ x 1 x 2 1 + m 2 d x = 1 + m 2 x x 1 x 2 =

1 + m 2 x 2 - 1 + m 2 x 1 =

1 + m 2 x 2 - 1 + m 2 x 1 =

Colocando 1 + m 2 em evidência:

L = 1 + m 2 x 2 - x 1

Passo 5

Agora, temos que achar o m em função das coordenadas dos pontos. Vamso substituí-los na equação da reta

y = m x + b

Ponto 1 :

y 1 = m x 1 + b

Ponto 2 :

y 2 = m x 2 + b

Subtraindo as duas equações:

y 2 - y 1 = m x 2 - m x 1

Arrumando isso, colocando o m em evidência:

y 2 - y 1 = m x 2 - x 1

Vamos ter:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Achamos o m

Passo 6

Agora, colocando em L , vamos ter:

L = 1 + y 2 - y 1 x 2 - x 1 2 x 2 - x 1

Igualando os denominadores dentro do parênteses

L = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 x 2 - x 1 2 x 2 - x 1

L = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 x 2 - x 1 2 x 2 - x 1

Considernado x 2 > x 1 , porque começa em x 1 e termina em x 2 , vamos ter:

x 2 - x 1 2 = x 2 - x 1

Colocando esse valor na integral:

L = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 x 2 - x 1 x 2 - x 1

Podemos simplificar x 2 - x 1 , encontrando:

L = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Resposta

L = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

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