Enunciado

Suponha que um rolamento de aço seja largado num recipiente com um fluido e comece a afundar. De acordo com um modelo, a velocidade v ( t ) (em m / s ) do rolamento decorridos t segundos depois de ser largado é dada pela fórmula:

v t = 9,8 k   ( 1 - e - k t )

Em que   k é uma constante positiva que corresponde à resistência que o fluido oferece ao movimento do rolamento. (Quanto menor o valor de k , mais fraca é essa resistência.) Com t fixado, determine o valor limite da velocidade quando k → 0 + e dê uma interpretação física desse limite.

Passo 1

Vamos aplicar esse limite:

lim k → 0 + ⁡ v t = lim k → 0 + ⁡ 9,8 k   1 - e - k t  

A gente pode organizar melhor pra ficar assim:

lim k → 0 + ⁡ v t = 9,8   lim k → 0 + ⁡   1 - e - k t k

Agora esse limite que apareceu aí lembra muito uma das formas do Limite Fundamental Exponencial:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a  

Passo 2

Para deixar ele mais parecido ainda vamos fazer o seguinte:

  lim k → 0 + ⁡   1 - e - k t k =   -   lim k → 0 + ⁡   e - k t - 1 k

Vamos fazer uma substituição de variáveis agora:

- k t = x       ⇒       k = - x t

k → 0       ∴       x → 0

Então nosso limite fica assim:

-   lim x → 0 + ⁡   e x - 1 - x / t   =   -   lim x → 0 + ⁡   e x - 1 1   ( - t x )

Como t   está fixado, ele é uma constante e sai do limite

  t lim x → 0 + ⁡   e x - 1 x  

Apareceu exatamente o nosso Limite Fundamental Exponencial, com a = e . Então

 t lim x → 0 + ⁡   e x - 1 x = t ln ⁡ e = t

Opa, achamos o limite que interessava a gente

  lim k → 0 + ⁡   1 - e - k t k =  t lim x → 0 + ⁡   e x - 1 x = t

Passo 3

Voltando pra equação que nós tínhamos:

lim k → 0 + ⁡ v t = 9,8   lim k → 0 + ⁡   1 - e - k t k

lim k → 0 + ⁡ v t = 9,8   t

Passo 4

Para darmos um significado físico, vamos olhar pra taxa de variação de v ( t ) quando k → 0 +

lim k → 0 + ⁡ v t = 9,8   t

v ' t = 9,8

Taxa de variação constante, ou seja, se o fluido não oferecer resistência a velocidade aumenta a uma taxa constante de 9,8 m s

Resposta

Taxa de variação constante, ou seja, se o fluido não oferecer resistência a velocidade aumenta a uma taxa constante de 9,8 m s

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Encontre f ' ( x ) pela Fórmula (7) e, então, por derivação logarítmica: f x = π s e n ( x )
Encontre d y d x usando qualquer método: y = x 3 - 2 x 2 + 1 e x
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique a resposta:Se lim x → + ∞ ⁡ f ' x = 0 , então o gráfico de y = l n ⁡ ( x ) tem uma assíntota horizontal.
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique a resposta:A inclinação da reta tangente ao gráfico y = l n ⁡ ( x ) em x = a tende ao infinito em a → 0 + .
Escreva um parágrafo explicando como a derivação logarítmica pode substituir uma conta de derivada difícil por uma conta mais simples.