Enunciado

Encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.

lim h → 0 ⁡ a r c   t g   1 + h - π 4 h

Passo 1

O que essa questão quer é basicamente que a gente lembre da definição de derivadas a partir de limites, lembra?

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h  

Concorda que o limite da questão se assemelha um pouco com o limite da definição de derivadas? Agora precisamos pensar em uma função f x   e um x 0   tal que:

f x 0 + h =     a r c   t g   1 + h

E

f x 0 = π 4

Passo 2

É bem provável que a nossa função desejada seja do tipo a r c   t g   k x , com k   sendo uma constante e o nosso x 0 = 1 , pois a r c   t g   ( 1 ) = π / 4 e isso já garantiria que f x 0 = π / 4

Vamos testar então

f x = a r c   t g ( x )             ;             x 0 = 1

Então as expressões que interessam a gente são:

f x 0 + h = f 1 + h = a r c   t g   ( 1 + h )  

E

f x 0 = f 1 = a r c   t g   ( 1 ) = π / 4

Nosso limite ficaria assim:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h       =     lim h → 0 ⁡ a r c   t g   1 + h - π 4 h

Opaaa percebe que apareceu exatamente o limite que estamos interessados?

Passo 3

Chegamos à conclusão de que o limite pedido nada mais é do que a definição de derivada para a função

f x = a r c   t g ( x )

No ponto x 0 = 1 .

Derivando nossa função:

f ' x = ( a r c   t g ( x ) ) '

Aí precisamos buscar na memória a derivada de arco tangente, lembra?

f ' x = 1 1 + x 2

Fazendo x = x 0 = 1

f ' x 0 = f ' 1 = 1 1 + 1 2 = 1 2

O valor do limite é:

lim h → 0 ⁡ a r c   t g   1 + h - π 4 h = 1 2

Pois ele é nada mais do que a derivada da função escrita de um jeito diferente, ou seja, usando a definição de derivadas.

Resposta

lim h → 0 ⁡ a r c   t g   1 + h - π 4 h = 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Derive a função. y =x + x x 2
Derive a função. R a = 3 a + 1 2
Derive a função. y = x ( x - 1 )
Derive a função. g x = x 2 ( 1 - 2 x )
Derive a função. j x = x 2,4 + e 2,4