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Suponha que f seja uma função par, g seja uma função ímpar e tanto f como g sejam definidas na reta real ℝ. Quais das seguintes funções (quando definidas) são pares? E ímpares?

g )   g ∘ f

Passo 1

Pessoal, existem duas informações meeega importantes que precisamos relembrar para resolvermos essa questão, ok? A primeira delas é que:

Uma função y = f ( x ) é uma função par se f - x = f ( x ) .

Uma função y = f ( x ) é uma função ímpar se f   - x = - f ( x ) .

Ressaltando também que as relações acima só são válidas para valores de x pertencentes ao domínio, tudo bem?

A segunda informação é acerca das funções compostas. Sim, o que temos ali em cima é uma função composta! Quando dizemos que a função g é composta de f , como é o nosso caso, estamos dizendo que a imagem de f vira o domínio de g . Descrevendo matematicamente isso, teremos o seguinte:

g ∘ f = g ( f x )

Sabendo disso, já podemos resolver a questão. Parece confuso, mas é tranquilo, garanto!

Passo 2

g f x = g ( f - x )

Utilizando as informações que discutimos, teremos:

g f - x = g ( f x )

∴ g ∘ f =   g ( f x )

Que é uma função par!

Resposta

A função g ∘ f é par.

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