Enunciado

Mostre que se a ≠ 0 e b ≠ 0 , então existem números α e β tais que a e x + b e - x é igual a a sinh ⁡ x + β ou a cos h ⁡ x + β . Em outras palavras, mostre que quase todas as funções da forma f x = a e x + b e - x são funções seno ou cosseno hiperbólicas expandidas e deslocadas.

Passo 1

E aeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para demonstrar que podemos escrever a seguinte função:

f x = a e x + b e - x

Na forma de funções seno ou cosseno hiperbólicas expandidas e deslocadas, ou seja, desse jeito aqui:

sinh ⁡ x + β ou a cosh ⁡ x + β

Para isso, vamos escolher uma delas e aí a gente generaliza, tudo bem?

Vamos começar sabendo que podemos reescrever uma dessas funções hiperbólicas da seguinte forma:

a cosh ⁡ x + β = α 2 e x + β ± e - x - β

Obs: o ± serve para generalizar tanto para o seno quanto para o cosseno.

Agora desenvolver!! 😉

Passo 2

Vamos desenvolver algebricamente a nossa expressão:

a cosh ⁡ x + β = α 2 e x + β ± e - x - β ∴

a cosh ⁡ x + β = α 2 e x e β ± e - x e - β ∴

a cosh ⁡ x + β = α 2 e β e x ± α 2 e - β e - x

Comparando os coeficientes de e x e e - x , temos:

a = α 2 e β

b = ± α 2 e - β

Agora, temos que encontrar α e β .

Passo 3

Dividindo as duas últimas equações do Passo 2, temos:

a b = α 2 e β ± α 2 e - β ∴

a b = ± e 2 β

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos:

ln ⁡ ± a b = 2 β ∴

β = ln ⁡ ± a b 2

Perceba que se a b > 0 , nós usamos o sinal positivo para obtermos a função do cosseno hiperbólico.

Por outro lado, se a b < 0 , nós usamos o sinal negativo para obtermos a função do seno hiperbólico.

Passo 4

Isolando e β nas duas últimas equações do Passo 2, temos:

a = α 2 e β ∴ e β = 2 a α

E

b = ± α 2 e - β ∴ e β = ± α 2 b

Igualando as duas expressões, obtemos:

2 a α = ± α 2 b ∴

a 2 = ± 4 a b ∴

a = 2 ± a b

Passo 5

Dessa forma, analisando os resultados do Passo 4 em conjunto com a explicação no final do Passo 3, vemos dois casos:

  1. Se a e b tiverem sinais iguais, nós temos que:
  2. a e x + b e - x = 2 a b cosh ⁡ x + 1 2 ln ⁡ a b

  3. Se a e b tiverem sinais diferentes, nós temos que:

a e x + b e - x = 2 - a b sin h ⁡ x + 1 2 ln ⁡ - a b

Resposta

Demonstração

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Explique como obter, a partir do gráfico de y = f ( x ) os gráficos a seguir: y = f x + 8
É dado do gráfico de f . Esboce os gráficos das seguintes funções :b) f x - 2
9 - 24 Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas. y = 1 x + 2
Como estão relacionados o gráfico da função y = 2s e n x e o de y = s e n x Use sua resposta e a figura 6 para esboçar o gráfico de y = 1 +x
É dado do gráfico de f . Esboce os gráficos das seguintes funções :c) f 1 3 x + 1