Enunciado

Suponha que f   e g sejam duas funções que coincidem exceto num número finito de pontos e que a seja algum número real dado. Explique informalmente por que existem e são iguais

lim x → a ⁡ f ( x ) e lim x → a ⁡ g ( x )

ou por que ambos os limites não existem. Escreva um parágrafo curto explicando a relação desse resultado com o uso de “simplificação algébrica” no cálculo de um limite.

Passo 1

Dizer que as funções coincidem é o mesmo que dizer que elas representam os mesmos valores em um conjunto de pontos. Significa que podemos dizer:

f x = g ( x )

E se calcularmos os limites dos dois lados:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ g ( x )

Então esse limites vão ser iguais. E se não existirem para um a , os dois não vão existir, porque os limites tem o mesmo valor.

Passo 2

A simplificação algébrica nos ajuda a reescrever os limites de outras formas, para conseguirmos calcular.

Isso é muito útil porque podemos começar um limite com uma função f ( x ) , que é difícil de calcular o limite, e reescrever essa função como g ( x ) . Como elas são iguais, os limites vão ser iguais. Então podemos calcular o limite de g ( x ) .

Acontece isso por exemplo quando a gente tem o limite:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 6 x + 9 x - 3

Se a gente substituir direto, não conseguimos calcular. Mas a gente pode fatorar e reescrever:

lim x → 3 ⁡ x - 3 2 x - 3 = lim x → 3 ⁡ x - 3 = 0

Conseguimos calcular, porque o limite para funções coincidentes é igual!

Resposta

Discussão nos passos

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