Enunciado

Suponha que ∑ n = 1 ∞ a n ( a n ≠ 0 ) seja uma série convergente. Demonstre que ∑ n = 1 ∞ 1 / a n é uma série divergente.

Passo 1

Fala aí, galerinha!

O enunciado nos diz que a série ∑ n = 1 ∞ a n converge. E quer que demonstremos que ∑ n = 1 ∞ 1 / a n diverge.

Bem, pelo teste do termo geral, se a série ∑ n = 1 ∞ a n converge, podemos dizer que seu limite do seu termo geral é zero:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Sendo assim, pra provar que ∑ n = 1 ∞ 1 / a n diverge, precisamos calcular seu limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 a n

e encontrar um valor diferente de zero!

Pra isso, vamos usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Sabemos que o limite do quociente é igual ao quociente dos limites:

lim n ��� ∞ ⁡ 1 a n = l i m n → ∞ 1 lim n → ∞ ⁡ a n

O denominador é nulo, como a gente já falou no enunciado. E pro numerador, temos que lembrar que limite de constante é igual a própria constante:

lim n → ∞ ⁡ 1 a n = l i m n → ∞ 1 lim n → ∞ ⁡ a n ≈ 1 0

E qualquer valor finito dividido por zero NO LIMITE, é igual a infinito.

lim n → ∞ ⁡ 1 a n = ∞

Logo a série ∑ n = 1 ∞ 1 / a n diverge porque já que a n → 0 quando n → ∞ o limite lim n → ∞ ⁡ ( 1 / a n ) vai ser diferente de zero, o que desobedece o teste do termo geral e a série diverge.

Resposta

Se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , então lim n → ∞ ⁡ 1 a n = ∞ .

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