Enunciado

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Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.

Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que

∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t

Passo 1

Calculando a derivada parcial de z em função de s

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y

Agora em função de t

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x - ∂ z ∂ y

Passo 2

Multiplicando as duas derivadas

∂ z ∂ s ∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y ∂ z ∂ x - ∂ z ∂ y

Temos na direita uma multiplicação no formato da diferença de quadrados

∂ z ∂ s ∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2

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