Enunciado

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.

Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que

∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t

Passo 1

Calculando a derivada parcial de z em função de s

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y

Agora em função de t

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x - ∂ z ∂ y

Passo 2

Multiplicando as duas derivadas

∂ z ∂ s ∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y ∂ z ∂ x - ∂ z ∂ y

Temos na direita uma multiplicação no formato da diferença de quadrados

∂ z ∂ s ∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .7. z = x 2 y 3 , x = s cos ⁡ t ,y = s sen ⁡ t