1.

Sejam

f = f x , y , z = x ² + y ³ + z 4

x = x u , v , w = u v + w

y = y u , v , w = u w + v

z = z u , v , w = v w + u

Calcule ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v e ∂ f ∂ w para u , v , w = 1,1 , 1

Resolução
2.

Considere as funções f , g e h tais que f x , y = x y , x 2 + y , x - y , g u , v , w = 2 w ln ⁡ u v e h s ∈ R . Seja H x , y = h ∘ g ∘ f x , y , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular ∂ H ∂ x 1,3 , para que valor de s é preciso conhecer h ' s ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h ' s = 5 , calcule ∂ H ∂ x 1,3 .
Resolução
3.

Dado

u = p - q q - r

p = x + y + z

q = x - y + z

r = x + y - z

  1. Expresse ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z como funções de x ,   y   e z usando a regra da cadeia e também expressando u diretamente em termos de x ,   y   e z antes de diferenciar.
  2. Calcule ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y e ∂ u ∂ z no ponto x , y , z = ( 3 , 2,1 )
Resolução
4.

Seja

g x , y = x 2 + y 2 f ( u , v )

Onde

u = 2 x - y

v = x + 2 y

Mostre que

∂ g ∂ x = 2 x . f u , v + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u + ∂ f ∂ v

Resolução
5.

Seja f : R 2 → R 2 , u , v → f u , v . Sejam u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y . Considere a composta g x , y ≔ f u x , y , v x , y ; ∀ x , y ∈ R 2 .

Assuma:

g x 2 4 , 2 4 = a

g y 2 4 , 2 4 = b

Para a e ∈ R .

Calcule f u 0 , 1 4 e f v 0 , 1 4 em função de a e b .

Resolução
6.

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para F : R 3 → R definida por

F x , y , z = ln ⁡ x 2 y + g cos ⁡ x + h x 3 z + 3 y z , z sen ⁡ x

Onde

g : R → R   x → g x

É uma função de classe C 2 e

h : R 2 → R   u , v → h u , v

É uma função de classe C 2 , tem-se que

∂ F ∂ x x , y , z = 2 x + g ' cos ⁡ x + ∂ h ∂ u x 3 + 3 y z , z sen ⁡ x 3 x 2 z + ∂ h ∂ v x 3 + 3 y z , z sen ⁡ x z cos ⁡ x

Resolução
7.

Seja

w = g ( x , y )

x = h r , s , t

y = k r , s , t

Escreva a fórmula da regra da cadeia para ∂ w ∂ s

Resolução
8.

Determine ∂ f ∂ s   e ∂ f ∂ t da função f x , y = x 2 + x y + y 2 , tendo x = s + t e y = s t

Resolução
9.

Use a regra da cadeia para determinar ∂ s ∂ u e ∂ s ∂ v em

s = z 3 - x 2 y

sendo

x = u + v ln ⁡ u

y = u 2 - v ln ⁡ v

z = u 2 - v 2

Resolução
10.

Se f ( u , v , w ) é diferenciável e

u = x - y

v = y - z

w = z - x

Mostre que

∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0

Resolução
11.

Seja z = 4 e x ln ⁡ y ,onde

x = ln ⁡ u cos ⁡ v               e               y = u   s e n   v

Calcule ∂ z ∂ v quando u = 2 e v = π 4 .

  1. 4 2 1 - ln ⁡ 2
  2. - 4 2 1 + ln ⁡ 2
  3. 4 2 1 + ln ⁡ 2
  4. 2 1 + ln ⁡ 2
  5. nenhuma das outras alternativas
Resolução
12.

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f x 0,0 = 2 , f x 1,1 = - 1 , f y 0,0 = 3 e f y 1,1 = 4 . Se g x , y = f f x , y , f x , y , os valores de g x ( 0,0 ) e g y 0,0 são respectivamente:

(a) 6 e 2

(b) Nenhuma das anteriores

(c) 13 e 10

(d) 6 e 9

(e) -5 e 2

Resolução
13.

Seja f : R 2 → R uma função de classe C 2 em R 2 e considere a função g : R 2 → R dada por

g s , t = s f 3 s 2 + t 2 ,   - s + 2 t .

a) Determine, em função das derivadas parciais de f , as derivadas δ g δ s s , t e δ δ s δ g δ t s , t .

b) Calcule δ 2 g δ t δ s - 1,1 , sabendo que

∇ f 4,3 = 3 2 , 4 2 ,       δ 2 f δ x 2 4,3 = 2 ,       δ 2 f δ y 2 4,3 = 1 ,       e     δ 2 f δ x δ y 4,3 = - 4  

Resolução
14.

Dada uma função f x , y de classe C 2 , defina g r , θ = r 2 f r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ .

a) Expresse g r r r , θ em termos das derivadas parciais de f .

b) Sabendo que f 0,0 = 1 , determine g r r 0 , θ para um valor arbitrário de θ .

Resolução
15.

Seja f : R 2 → R   ,   f = f ( x , y ) , uma função de classe C 2 e defina

g u , v = f u 2 - v 3 ,   2 u 2 v

  1. Determine δ 2 g δ u δ v em termos da função f e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
  2. Se 2 x + 4 y + 3 z = 4 é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,2 , f 0,2 , determine f 0,2 ,   ∇ f 0,2   e   ∇ g 1,1 .
  3. Sabendo que δ 2 f δ x 2 0,2 = 2 ,   δ 2 f δ y 2 0,2 = 4 e que   δ 2 f δ x δ y 0,2 = 1 , calcule δ 2 g δ u δ v 1,1 .
Resolução
16.

Considere a função

f x , y = x y e x y

Considere as funções reais x ( u , v ) e y ( u , v ) satisfazendo

x 0,0 = 1

y 0,0 = 0

x u 0,0 = - 1

y u 0,0 = 2

Considere a composta

g u , v = f x u , v , y u , v

Calcule g u ( 0,0 ) .

Resolução
17.

Calcule ∂ w ∂ r e ∂ w ∂ t para

w = x y + y z + x z

x = r

y = r cos ⁡ t

z = r sen ⁡ t

Resolução
18.

O que está errado com o seguinte argumento?

“Suponha que w = f ( x , y ) com y = x ² . Pela regra da cadeia:

∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x . ∂ x ∂ x + ∂ w ∂ y . ∂ y ∂ x     →     ∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x + 2 x ∂ w ∂ y

Assim, 0 = 2 x ∂ w ∂ y , de modo que ∂ w ∂ y = 0

Resolução
19.

Seja

w = x 2 + y 2 - z ²

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

Calcule w ρ , w ϕ e w θ .

Resolução
21.

Se

u = x m f y x , x z , z x

f diferenciável em R 3 , mostre que

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y + z ∂ u ∂ z = m u

Resolução
22.

Considere as funções f , g e h tais que f x , y = x y , x 2 + y , x - y , g u , v , w = 2 w ln ⁡ u v e h s ∈ R . Seja H x , y = h ∘ g ∘ f x , y , h derivável em R .

  1. Para ser possível calcular ∂ H ∂ x 1,3 , para que valor de s é preciso conhecer h ' s ?
  2. Supondo que para o valor de s do item anterior, h ' s = 5 , calcule ∂ H ∂ x 1,3 .
Resolução
23.

Seja g u , v = f ( x , y ) , onde x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) são dadas implicitamente por

u = x 2 + y 2 v = x y

a)Mostre que δ y δ u = - y x δ x δ u  

b)Suponha que x δ f δ x - y δ f δ y = 0 . Calcule δ g δ u .

Resolução
24.

Seja f x , y = 4 e x ln ⁡ y , x u , v = ln ⁡ u c o s v , e y u , v = u s e n v . Se F u , v = f x u , v ,   y u , v , então as derivadas parciais de F em 2 , π 4 são:

  1. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = 2 2 ln ⁡ 2 + 2
  2. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = - 2 2 ln ⁡ 2 - 2
  3. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = - 2 2 ln ⁡ 2 - 4
  4. F u 2 , π 4 = 2 ln ⁡ 2 + 2   e F v 2 , π 4 = - 2 2 ln ⁡ 2 - 2
  5. Não sei
Resolução
25.

Seja z = x s e n x y .

  1. Verifique que x ∂ z ∂ x x , y + y ∂ z ∂ y x , y = z
  2. Se x t = cos ⁡ t + 2 s e y t = s e n t - 2 s , calcule ∂ z ∂ t e ∂ z ∂ s .
Resolução
26.

Seja f x , y uma função diferenciável tal que f 0,0 = 1 , f 1,0 = 2 , ∂ f ∂ x 1,0 = 1 e ∂ f ∂ y 1,0 = 2 . Seja

g u , v = f u + cos ⁡ v , u - v 2

Quanto valem ∂ g ∂ u 0,0 e ∂ g ∂ v 0,0 , respectivamente?

a 6 e - 2 ;

b 4 e - 8 ;

c 3 e - 2 ;

d 12 e - 8 ;

e 6 e - 4 .

Resolução
27.

Utilize a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t quando z = s e n 3 θ - c o s ϕ ; θ s , t = s t 2 e ϕ s , t = 1 - s 2 t

Resolução
28.
  1. Encontre uma aproximação linear para 4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2 .
  2. Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja z = f x 2 + y 2 . Mostre que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0 .