Exercícios de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro - Lista de Exercícios Resolvida

Sejam

Calcule , e para

Considere as funções , e tais que , e . Seja , derivável em .

1. Para ser possível calcular , para que valor de é preciso conhecer ?
2. Supondo que para o valor de do item anterior, , calcule .

Dado

1. Expresse , e como funções de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar.
2. Calcule , e no ponto

Seja

Onde

Mostre que

Seja , . Sejam e . Considere a composta .

Assuma:

Para e .

Calcule e em função de e .

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no respectivo item.)

Para definida por

Onde

É uma função de classe e

É uma função de classe , tem-se que

Seja

Escreva a fórmula da regra da cadeia para

Determine e da função , tendo e

Use a regra da cadeia para determinar e em

sendo

Se é diferenciável e

Mostre que

Seja ,onde

Calcule quando e .

5. nenhuma das outras alternativas

Seja , uma função de classe e defina

1. Determine em termos da função e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
2. Se é a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto , determine .
3. Sabendo que e que, calcule .

Seja

Calcule , e .

Se , onde , e são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para e . Aplique para cada caso abaixo:

b) onde e .

Se , onde , e são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para e . Aplique para cada caso abaixo:

c) onde e .

Se , onde , e são diferenciáveis em todo plano, obtenha as expressões para e .

O que está errado com o seguinte argumento?

“Suponha que com . Pela regra da cadeia:

Assim, , de modo que ”

Considere as funções , e tais que , e . Seja , derivável em .

1. Para ser possível calcular , para que valor de é preciso conhecer ?
2. Supondo que para o valor de do item anterior, , calcule .

Seja , onde e são dadas implicitamente por

a)Mostre que

b)Suponha que . Calcule .

Calcule e para

Seja

a) Calcule o vetor gradiente da função f no ponto P(1,1).

b) Calcule a derivada direcional da função f no ponto (1,1) e na direção do vetor .

c) Determine a direção segundo a qual é máxima e determine a taxa máxima nesse ponto.

Seja uma função diferenciável tal que , , e . Seja

Quanto valem e , respectivamente?

e ;

e ;

e ;

e ;

e .

Seja uma função diferenciável tal que , , , e . Se , os valores de e são respectivamente:

(a) 6 e 2

(b) Nenhuma das anteriores

(c) 13 e 10

(d) 6 e 9

(e) -5 e 2

Utilize a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais e quando ; e

A variável é uma função das variáveis e implicitamente definida pela equação .

a) Calcule e .

b) Se e , determine e . Sua resposta deve depender apenas de e .

1. Encontre uma aproximação linear para .
2. Seja uma função diferenciável de uma variável e seja . Mostre que .

Seja uma função diferenciável. Defina

Onde

Calcule

Considere onde:

Com

Sendo