Enunciado

Suponha que f x ≤ M para todo x , onde M é uma constante. Além disso, suponha que lim x → a ⁡ g x = 0 . Use o teorema do “sanduíche” para provar que lim x → a ⁡ f x g x = 0

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos fazer a seguinte afirmação:

0 ≤ f x ≤ M

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo de f x e multiplicar g x em toda a expressão.

- M ≤ f x ≤ M

- M ≤ f x ≤ M ∙ g x

- M g x ≤ f x g x ≤ M g x

Passo 3

Agora tirar o módulo do g x no f x g x e depois apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

- M g x ≤ f x g x ≤ M g x

lim x → 0 ⁡ - M g x ≤ lim x → 0 ⁡ f x g x ≤ lim x → 0 ⁡ M g x

- M ( 0 ) ≤ lim x → 0 ⁡ f x g x ≤ M ( 0 )

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x g x ≤ 0

Resposta

Como lim x → 0 ⁡ - M g x que é menor que lim x → 0 ⁡ f x g x e lim x → 0 ⁡ M g x que é maior que lim x → 0 ⁡ f x g x convergem para 0 , então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 0 ⁡ f x g x é igual 0 .

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48.Seja f x = x 2 + 1 s ex1 x - 2 2s ex ≥ 1 Encontre lim x → 1 - ⁡ f ( x ) e lim x → 1 + ⁡ f ( x ) . lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe?Esboce o gráfico de f .
Encontre o lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se 4 x - 1 xf ( x )4 x 2 + 3 x x 2 Para todo x5 .
57. Use o gráfico para encontrar um número N tal que 6 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 1 - 30,2
Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x → 1,5 ⁡ 2 x 2 - 3 x 2 x - 3
Se 3 x ≤ f x ≤ x 3 + 2 para todo 0 ≤ x ≤ 2 , encontre lim x → 1 ⁡ f ( x )