Enunciado

Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.

lim x → 1,5 ⁡ 2 x 2 - 3 x 2 x - 3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o limite da função f x = 2 x 2 - 3 x 2 x - 3 quando x tende a 1,5 .

Repare que se a gente substituir x = 1,5 na função, teríamos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, vamos ter que achar uma forma de fugir dessa indeterminação antes de aplicar o limite. Pra isso, vamos começar analisando nossa função.

Observe que nós temos uma função modular no denominador, que pode ser definida por partes na forma:

2 x - 3 ,     s e   x ≥ 1,5 - 2 x - 3 ,     s e   x < 1,5

Isso significa que x pode tender a 1,5 por valores maiores do que 1,5 , ou seja, pela direita, ou pode tender por valores menores que 1,5 , ou seja, pela esquerda.

Dessa forma, nós vamos precisar calcular os limites laterais dessa função usando as duas condições da sua definição:

lim x → 1,5 + ⁡ 2 x 2 - 3 x 2 x - 3

lim x → 1,5 - ⁡ 2 x 2 - 3 x - ( 2 x - 3 )

Se esses limites existirem e forem iguais, encontraremos o limite de f ( x ) pra quando x tende a 1,5 ( lim x → 1,5 ⁡ 2 x 2 - 3 x 2 x - 3 ) e teremos nossa resposta. Então, vamos tentar simplificar a função em ambos os casos e aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite lateral pela direita, fazendo x tender a 1,5 por valores maiores que 1,5 :

lim x → 1,5 + ⁡ 2 x 2 - 3 x 2 x - 3

Como a gente viu no passo 1 , se a gente só substituir x = 1,5 teremos uma indeterminação. Então, vamos tentar simplificar essa fração antes de aplicar o limite. Vamos fazer isso colocando x em evidência no numerador:

lim x → 1,5 + ⁡ x ( 2 x - 3 ) 2 x - 3

Agora repare que nós temos 2 x - 3 no numerador e no denominador, então podemos simplificar os dois termos e ficamos com:

lim x → 1,5 + ⁡ x

Agora ficou moleza, né? É só substituir o valor do limite e teremos:

lim x → 1,5 + ⁡ x = 1,5

Passo 3

Já calculamos o limite pela direita, agora vamos calcular pela esquerda e ver se o resultado bate.

Nós vimos que quando x tende a 1,5 por valores menores que 1,5 , temos o limite lateral:

lim x → 1,5 - ⁡ 2 x 2 - 3 x - ( 2 x - 3 )

Vamos colocar x em evidência novamente e simplificar, como fizemos no passo anterior:

lim x → 1,5 - ⁡ x ( 2 x - 3 ) - ( 2 x - 3 )

= lim x → 1,5 - ⁡ - x

E aí é só aplicar o limite no lugar do x :

= - 1,5

Opa! Os limites laterais deram valores diferentes, olha só:

lim x → 1,5 + ⁡ 2 x 2 - 3 x 2 x - 3 = 1,5

lim x → 1,5 - ⁡ 2 x 2 - 3 x - ( 2 x - 3 ) = - 1,5

Isso significa que o nosso limite de quando x → 1,5 não existe, ou seja:

lim x → 1,5 ⁡ 2 x 2 - 3 x 2 x - 3 →   ∄

Só por curiosidade, dá uma olhadinha no gráfico dessa função:

Em verde nós temos a função f x = 2 x 2 - 3 x 2 x - 3 e em azul a reta x = 1,5 . Observe que a nossa função tem uma quebra nesse ponto e que caminhando pela direita nós nos aproximamos de um valor e pela direita nos aproximamos de outro. Por isso, o limite não existe.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

O   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

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Seja f uma função definida em R tal que para todo x ≠ 1 , - x 2 + 3 x ≤ f xx 2 - 1 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.
Verifique que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x não existe.Calcule, caso exista, lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x . (Justifique)
Seja f definida em R e suponha que exista M0 tal que, para todo x , f x - f p ≤ M x - p 2 .Mostre que f é contínua em p .Calcule, caso exista, lim x → p ⁡ f x - f p x - p .
Nos exercícios 79 e 80, use o teorema do “sanduíche” para determinar o limite.80) lim x → 4 ⁡ g xs eg x + 53 4 - x 2 para todo x
Nos exercícios 79 e 80, use o teorema do “sanduíche” para determinar o limite.79) lim x → 1 ⁡ x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 3