Enunciado

Um tanque com a forma de um hemisfério, tendo um diâmetro de 10m, está cheio com água até uma profundidade de 3m. Ache o trabalho realizado ao bombear a água até a borda do tanque.

Passo 1

Colocar uma foto de um hemisfério, caso você não saiba:

Como ideia inicial, devemos escolher o eixo positivo com direção para baixo por ser um movimento vertical.

A origem será o topo do reservatório e a repartição será no intervalo 0,2 .

Essa é uma questão que usaremos a Soma de Riemann, então chamaremos de w i um ponto qualquer nesse intervalo x i - 1 , x i .

Apenas um comentário sobre o que escrevemos acima, não liga muito para a formalidade, pense nesse intervalo como dois pontos de alturas distintas. Melhorou né!

Passo 2

Agora vem a parte de imaginar, pode parecer a pior parte, mas eu te garanto que depois de um tempo você terá facilidade com isso!

Pensaremos num elemento muito fino de mesma forma da superfície do reservatório. Qual é o raio desse elementinho?

Falamos que o eixo é para baixo positivo, então o raio desse elementinho será a distância perpendicular ao eixo x . Não esquenta é o eixo y . Essa distância será o ponto em y :

Sabendo que o raio da esfera é 5m, temos quem em y :

25 - w i 2

E a área do elementinho será:

π 25 - w i 2

Belezaa! Agora com a área calculada e com a espessura definida, teremos o volume dado por:

V o l u m e   d o   e l e m e n t o z i n h o   =   π 25 - w i 2   ∆ i x

Passo 3

Vamos agora pensar no Peso da água para 1 m 3 , lembrando que 1000   k g m 3 e gravidade igual a 9,81   m s 2 , temos que multiplicar a gravidade pela densidade e temos:

P = 9810 N

Voltamos a pensar no elementinho, qual será a força sobre ele?

Ora, será o peso de 1 m 3 multiplicado pelo seu volume:

9810 π 25 - w i 2   ∆ i x  

Já temos o peso, que é uma força, o que precisamos para o trabalho??

Isso aí, a distância e como faremos?

Imaginaremos que x i - 1 , x i seja muito próximo! O que vai acontecer com a posição? Será igual a w i , pois ele apenas vai percorrer dentro do tanque!!!

w i

O trabalho do elementinho será:

9810 π 25 - w i 2   ∆ i x w i

Pensando em todos os elementinho teremos:

W = lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 9810 π 25 - w i 2   ∆ i x w i = 9810 π ∫ 2 5 25 - x 2 x d x

Para finalizar! Ufaaa, calcularemos essa integral:

W = 9810 π ∫ 0 2 25 - x 2 x d x = 9810 π ∫ 0 2 25 x - x 3 d x = 9810 π 25 x 2 2 2 0 - x 4 4 2 0 = 451.260 π J

Resposta

W = 451.260 π J

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