Enunciado

A temperatura no ponto ( x , y , z ) numa substância com condutividade K = 6,5 é u x , y , z = 2 y 2 + 2 z 2 . Encontre a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superfície cilíndrica y 2 + z 2 = 6 , 0 ≤ x ≤ 4 .

Passo 1

Pessoal, se a temperatura em um ponto ( x , y , z ) é dada por u ( x , y , z ) , então a taxa de transmissão de calor é dada pelo campo vetorial

F = K ∇ u

onde K é uma constante determinada experimentalmente e é conhecida como condutividade da substância. A taxa de transmissão de calor através da superfície S é dada pela integral de superfície

∬ F . d S

Nós sabemos que u x , y , z = 2 y 2 + 2 z 2 . Logo,

∇ u = 4 y j + 4 z k

Assim, podemos escrever o campo vetorial como

F = 4 ( 6,5 ) ( y j + z k )

Passo 2

Sabemos que,

∬ F . d S = ∬ F . n d S

onde n é o vetor unitário normal e d S = r u × r v d A . O fluxo através da superfície é definido somente se a superfície for orientável. Note que se a superfície é orientável, terão dois vetores normais em todos os pontos. Podemos escrever:

d S = n d A = ± r u × r v r u × r v   r u × r v d A = ± r u × r v d A

Para encontrar o fluxo nós sempre usamos n que corresponde a orientação positiva. Vamos primeiro encontrar r u × r v e aí encontrar o valor de d S .

A representação paramétrica do cilindro é:

r u , v = v , 6 cos ⁡ u , 6 sen ⁡ u

onde u ∈ [ 0,2 π ) e v ∈ [ 0,4 ] . Calculando as derivas parciais:

r u = 0 , - 6 sen ⁡ u , 6 cos ⁡ u

r v = 1,0 , 0

Portanto,

r u × r v = i j k 0 - 6 sen ⁡ u 6 cos ⁡ u 1 0 0 = 6 ( cos ⁡ u j + sen ⁡ u k )

Assim,

d S = r u × r v d A

d S = 6 ( cos ⁡ u j + sen ⁡ u k ) d A

Passo 3

A taxa de transmissão de calor através da superfície é

∬ F . d S = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π 26 6 cos ⁡ u j + sen ⁡ u k . 6 cos ⁡ u j + s e n ⁡ u k d A

∬ F . d S = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π 26 × 6 cos 2 ⁡ u + sin 2 ⁡ u d A

∬ F . d S = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π 26 × 6   d A

∬ F . d S = 26 × 6 × 4 × 2 π = 1248 π

Resposta

A taxa de transferência é:

∬ F . d S = 1248 π

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