Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 47
A temperatura no ponto numa substância com condutividade é . Encontre a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superfície cilíndrica , .
Passo 1
Pessoal, se a temperatura em um ponto é dada por , então a taxa de transmissão de calor é dada pelo campo vetorial
onde é uma constante determinada experimentalmente e é conhecida como condutividade da substância. A taxa de transmissão de calor através da superfície é dada pela integral de superfície
Nós sabemos que . Logo,
Assim, podemos escrever o campo vetorial como
Passo 2
Sabemos que,
onde é o vetor unitário normal e . O fluxo através da superfície é definido somente se a superfície for orientável. Note que se a superfície é orientável, terão dois vetores normais em todos os pontos. Podemos escrever:
Para encontrar o fluxo nós sempre usamos que corresponde a orientação positiva. Vamos primeiro encontrar e aí encontrar o valor de
A representação paramétrica do cilindro é:
onde e . Calculando as derivas parciais:
Portanto,
Assim,
Passo 3
A taxa de transmissão de calor através da superfície é
Resposta
A taxa de transferência é: