Calcular
Sendo e a parte do plano cortada pelos planos e é a normal com componente não negativa
Passo 1
Fala galerinha! Vamos resolver mais uma questãozinha!
O enunciado nos pede pra calcular a integral:
Para isso, precisamos lembrar que:
Onde e são as derivadas parciais do vetor que é o vetor de parametrização da superfície . Além disso, nosso elemento se transforma em a partir dessa relação!
Então seguiremos alguns passos:
- Parametrizar
- Encontrar o vetor
- Encontrar as derivadas parciais e
- Realizar o produto vetorial
- Realizar o produto escalar
- Avaliar a integral
Vamos com calma pra resolver o problema da melhor forma!
Passo 2
Parametrizando a superfícies , podemos estabelecer um vetor do tipo:
Pelo tipo de problema.
Usando a expressão do plano, do enunciado, temos:
Isolando na expressão, temos:
Podemos usar essa expressão na nossa parametrização e teremos o seguinte:
Uma parte foi, vamos para a próxima! Sem desistir!
Passo 3
Agora que temos nossa parametrização, vamos calcular as derivadas parciais em e
Sendo assim, temos que:
Derivando, temos:
Agora, realizando a derivada em relação a , teremos:
Derivando, temos:
Passo 4
Agora que encontramos nossas derivadas parciais, vamos encontrar o produto vetorial entre elas. Vamos encontrar então:
Substituindo o que encontramos, temos:
O produto vetorial é dado realizando a diferença entre as diagonais principais e secundárias dessa matriz. Dessa forma, teremos:
Simplificando, teremos:
Passo 5
Falta pouco pra terminarmos o nosso problema. Agora, vamos realizar o produto escalar:
Onde, pelo enunciado:
E:
Faremos, então:
Aplicando o produto escalar, teremos:
Como obtemos antes, temos a expressão para :
Substituindo na expressão que obtemos do produto escalar, temos:
Podemos simplificar a expressão para:
Passo 6
Agora, finalmente, podemos montar nossa integral! Ela será:
Que vimos que se transforma em:
Que, substituindo os valores, será:
Agora, avaliando os limites de integração, temos que:
Aplicando na integra, ela fica:
Resolvendo a integral, temos:
Prontinho!