Calcular

∬ S f → ⋅ n → d S

Sendo f = x i^ + y j^ + z k^ e S a parte do plano 2x + 3y + 4z = 12 cortada pelos planos x = 0, y = 0, x = 1, y = 2 e n vetor é a normal com componente z não negativa

Passo 1

Fala galerinha! Vamos resolver mais uma questãozinha!

O enunciado nos pede pra calcular a integral:

∬ S f → ⋅ n → d S

Para isso, precisamos lembrar que:

∬ S f → ⋅ n → d S = ∬ D f → ⋅ r → x × r → y   d x d y

Onde   r → x e r → y são as derivadas parciais do vetor r → ( x , y ) que é o vetor de parametrização da superfície S . Além disso, nosso elemento d S se transforma em d x   d y a partir dessa relação!

Então seguiremos alguns passos:

  • Parametrizar S
  • Encontrar o vetor   r → x , y
  • Encontrar as derivadas parciais r → x e r → y
  • Realizar o produto vetorial r → x × r → y
  • Realizar o produto escalar f → ⋅ r → x × r → y
  • Avaliar a integral

Vamos com calma pra resolver o problema da melhor forma!

Passo 2

Parametrizando a superfícies S , podemos estabelecer um vetor do tipo:

r → x , y = x   i ^ + y   j ^ + z k ^

Pelo tipo de problema.

Usando a expressão do plano, do enunciado, temos:

2 x + 3 y + 4 z = 12

Isolando z na expressão, temos:

z = 12 - 2 x - 3 y 4

Podemos usar essa expressão na nossa parametrização e teremos o seguinte:

r → x , y = x   i ^ + y   j ^ + 12 - 2 x - 3 y 4   k ^

Uma parte foi, vamos para a próxima! Sem desistir!

Passo 3

Agora que temos nossa parametrização, vamos calcular as derivadas parciais em x e y

Sendo assim, temos que:

∂ r → ∂ x = r → x

Derivando, temos:

r → x = 1   i ^ + 0   j ^ - 1 2 k ^

Agora, realizando a derivada em relação a y , teremos:

∂ r → ∂ y = r → y

Derivando, temos:

r → y = 0   i ^ + 1   j ^ - 3 4   k ^

Passo 4

Agora que encontramos nossas derivadas parciais, vamos encontrar o produto vetorial entre elas. Vamos encontrar então:

r → x × r → y

Substituindo o que encontramos, temos:

r → x × r → y = i ^ j ^ k ^ 1 0 - 1 2 0 1 - 3 4

O produto vetorial é dado realizando a diferença entre as diagonais principais e secundárias dessa matriz. Dessa forma, teremos:

r → x × r → y = 0 - - 1 2   i ^ + 0 - - 3 4   j ^ + 1 - 0   k ^

Simplificando, teremos:

r → x × r → y = 1 2   i ^ + 3 4   j ^ + 1   k ^

Passo 5

Falta pouco pra terminarmos o nosso problema. Agora, vamos realizar o produto escalar:

f → ⋅ r → x × r → y

Onde, pelo enunciado:

f → = x   i ^ + y   j ^ + z   k ^

E:

r → x × r → y = 1 2   i ^ + 3 4   j ^ + 1   k ^

Faremos, então:

f → ⋅ r → x × r → y = x   i ^ + y   j ^ + z   k ^ ⋅ 1 2   i ^ + 3 4   j ^ + 1   k ^

Aplicando o produto escalar, teremos:

f → ⋅ r → x × r → y = x 2 + 3 y 4 + z

Como obtemos antes, temos a expressão para z :

z = 12 - 2 x - 3 y 4

Substituindo na expressão que obtemos do produto escalar, temos:

f → ⋅ r → x × r → y = x 2 + 3 y 4 + 12 - 2 x - 3 y 4

Podemos simplificar a expressão para:

x 2 + 3 y 4 + 3 - x 2 - 3 y 4 = 3

Passo 6

Agora, finalmente, podemos montar nossa integral! Ela será:

∬ S f → ⋅ n → d S

Que vimos que se transforma em:

∬ D f → ⋅ r → x × r → y   d x d y

Que, substituindo os valores, será:

∬ D 3   d x d y

Agora, avaliando os limites de integração, temos que:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 2

Aplicando na integra, ela fica:

∫ 0 2 ∫ 0 1 3   d x   d y

Resolvendo a integral, temos:

∫ 0 2 ∫ 0 1 3   d x   d y = 3 ⋅ 1 ⋅ 2 = 6

Prontinho!

Resposta

∬ S f → ⋅ n → d S = 6

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