1.

Calcule a integral:

∬ S F ∙ n d S

Onde:

F = - 3 x y z 2 , x + 2 y z - 2 x z 4 , y z 3 - z 2

E S é a união da superfície: x 2 + y 2 = 1

0 ≤ z ≤ 1

Com a superfície:

z = 0

x 2 + y 2 ≤ 1

Indicando a orientação escolhida para S .

Resolução
2.

Calcule

∬ S   x z   d y ∧ d z + z y 2 d z ∧ d x + y 2 2 d x ∧ d y

Onde

S = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   x 2 + y 2 ≤ 2 x ,   z ≥ 0

Orientada pela normal N → com N → . k → > 0 .

Resolução
3.

Encontre o fluxo do campo vetorial F através de σ . Onde F x ,   y ,   z = x + y i + y + z j + z + x k ; σ é a porção do plano x + y + z = 1 do primeiro octante, orientada por vetores normais unitários com componentes positivos.

Resolução
4.

Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = r → r → 3 → e S é a parte do hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 1 limitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 com a normal que aponta no sentido que se afasta do eixo z .

Resolução
5.

Seja S a superfície de revolução obtida girando a curva C , definida pela equação

y = e x ,             x ∈ [ 0,1 ]

Em torno do eixo O X com vetor normal apontando para o lado do eixo de revolução. Calcule o fluxo do campo vetorial

F → x , y , z = x z 2 + y 2 , y , z

Através da superfície de revolução S .

Resolução
6.

Calcule ∬ S   F → . N → d σ , sendo F → x , y , z = - y i → + x j → + z k → e S a parte de x 2 + y 2 + z 2 = 1 que satisfaz 2 2 ≤ z ≤ 3 2 , orientada pela normal N → tal que N → . k → > 0 .

Resolução
7.

Calcule ∬ S   F → . N → d σ , sendo F → x , y , z = - y i → + x j → + z k → e S a parte de x 2 + y 2 + z 2 = 1 que satisfaz 2 2 ≤ z ≤ 3 2 , orientada pela normal N → tal que N → . k → > 0 .

Resolução
8.

Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = x y , x 2 , ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) e S é a parte da superfície z + 1 2 = x 2 + y 2 para 0 ≤ z ≤ 3 orientada de modo que N → é tal que N → . k → < 0 .

Resolução
9.

Calcule

∬ S   x z   d y ∧ d z + z y 2 d z ∧ d x + y 2 2 d x ∧ d y

Onde

S = { x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   x 2 + y 2 ≤ 2 x ,   z ≥ 0

Orientada pela normal N → com N → . k → > 0 .

Resolução
10.

Seja S a parte do hiperboloide x 2 + z 2 - y 2 = 9 com z ≥ 0 , limitada por x 2 + y 2 = 4 , orientada com N → tal que N → . k → > 0 .

  1. Dê uma parametrização de S e uma expressão para o campo de vetores normais N → .
  2. Calcule ∬ S   F → . N →   d S , onde F → x , y , z = ( z , 2 z , x 2 ) .
Resolução
11.

Calcule ∬ S   F → . N → d S sendo F → x , y , z = x 3 12 , y 3 48 , z e S é parte da superfície x 2 4 + y 2 16 = 1 , limitada pelos planos z = 3 e z = - 3 , orientada pela normal N → que se afasta do eixo z (exterior).

Resolução
12.

Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = r → r → 3 → e S é a parte do hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 1 limitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 com a normal que aponta no sentido que se afasta do eixo z .

Resolução
13.

Calcule:

∬ S   F ∙ n d S

Onde F x , y , z = ( 2 y , - z , x 2 ) e S é a superfície do cilindro y 2 = 8 x situada no primeiro octante e limitada pelos planos y = 4 e z = 6 . Oriente a normal de forma que sua coordenada x seja positiva.

Resolução
14.

Questão 4) Dados o campo vetorial F → x ,   y ,   z = y i → + x j → + x z k → e a superfície S dada por

S = x ,   y ,   z : z = x + y + 2 ,   x 2 + y 2 4 ≤ 1

Calcule

∬ S   r o t   F → ⋅ n → d S ,

em que n → é o vetor unitário apontando para baixo.

Resolução
15.

Considere a superfície S do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 , situada no primeiro octante ( x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ) .

a) Ache uma parametrização para S .

c) Calcule o fluxo do campo F x , y , z = - y , x , - z através de S (supondo S orientada para fora).

Resolução
16.

Seja S parte do plano x + 3 y + 2 z = 8 limitada pelos planos x = 0 , y = 0 e z = 0 . Calcule

∬ S F → ∙ N → d S

Onde F → x , y , z = ( x y z , y 2 z , x y ) com N → ∙ k → > 0

Resolução
17.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

a) F → x ,   y ,   z = - z k → e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 fora do cilindro x 2 + y 2 = 1 , n → apontando para fora.

Resolução
18.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

b) F → x ,   y ,   z = - x i → + - y j → + 3 y 2 z k → e S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 16 , situado no primeiro octante, entre z = 0 e z = 5 - y , n → apontando para o eixo z .

Resolução
19.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

c) F → x ,   y ,   z = z + 3 x i → + z + 3 k → e S é a superfície do sólido limitado por z = 1 - y 2 , x = 0 , x = 2 e o plano x y , com n → exterior.

Resolução
20.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

d) F → x ,   y ,   z = - 3 x y z 2 i → + x + 2 y z - 2 x z 4 j → + y z 3 - z 2 k → e S é a união da superfície

x 2 + y 2 = 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , com z = 0 , x 2 + y 2 ≤ 1 , indicando a orientação escolhida para S .

Resolução
21.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

f) F → x ,   y ,   z = x ,   y ,   - z e S é a semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 , com n → exterior.

Resolução
22.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

g) F → x ,   y ,   z = y i → + x j → + 2 k → e S é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices 2 ,   0 ,   0 , 0 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 , com n → tendo a componente z não negativa.

Resolução
23.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

h) F → x ,   y ,   z = z i → + y z j → e S é a parte do plano z = 2 - x , limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 9 , com n → tal que n → ⋅ k → ≥ 0 .

Resolução
24.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

j) F → x ,   y ,   z = x - y ,   x + y ,   z e S : x 2 + y 2 = a 2 , z > 0 , 0 ≤ z ≤ h , com n → exterior.

Resolução
25.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

k) F → x ,   y ,   z = x i → + - y j → e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , a ≥ 0 , no primeiro octante e n → apontando para a origem.

Resolução
26.

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

l) F → x ,   y ,   z = x ,   - 3 y ,   - 2 z e S é a união dos planos y + z = 0 , com 0 ≤ x ≤ 1 , - 1 ≤ y ≤ 0 e z = 0 , com 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , indicando a orientação escolhida para S .

Resolução
27.

Calcule o fluxo de F → x , y , z = x i → + y j → - 2 z k → , através da superfície S , parte do cilindro x 2 + y 2 = 2 x , limitado pelo plano z = 0 e pelo cone z = x 2 + y 2 , com vetor normal apontando para fora de S .

Resolução
28.

Seja S a parte de o cilindro x 2 + y 2 = 4 limitada pelos planos z = - 1 e z = 1 e orientada pela normal unitária N → , tal que N → 1,0 , 0 = i → e F → x , y , z = x   i → + y   j → + z 4   k → . O valor da integral

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

é:

a) 4 π

b) 20 π

c) 8 π

d)   12 π

e) 16 π

Resolução
29.

Dados o campo F → x , y , z = x z   i → + y z   j → - z 2 + z + e x 2 sen ⁡ y k → e a superfície fechada S que delimita o cilindro

E : x 2 + z 2 ≤ 9 ,   0 ≤ y ≤ 3

com a normal apontando para fora. Calcule:

(a) O fluxo de F → através da base de E que está contida no plano y = 0

Resolução
30.

Calcule a integral de superfície ∬ S F → ∙ d S → , onde F → x ,   y ,   z = 1 x , 1 y , 1 z e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , cujo contorno está definido como intercessão da esfera com dois planos horizontais paralelos e dois planos verticais concorrentes, que passam pelo eixo z , conforme à figura abaixo. A distância entre os planos horizontais é h , o ângulo entre os planos verticais é ω , S pertence ao primeiro octante, e o vetor normal aponta fora da esfera.

Resolução
31.

(5) Seja a , b e c positivos. O fluxo do campo vetorial F → = 1 ,   b ,   c através da superfície do triângulo plano com vértices em 0 ,   0 ,   0 , a ,   0 ,   0 e 0 ,   b ,   c , orientada com normal cuja coordenada z é positiva, é igual a:

  1. 0
  2. 1
  3. - 1
  4. 2 a b c
  5. a b 2 c c 2 + b 2
Resolução
32.

Questão 1:

b) Calcule

∬ S   x   d y ∧ d z + y   d z ∧ d x + z   d x   ∧ d y

Sendo S a parte do plano z + 2 x - 3 = 0 limitada pelo paraboloide z = 4 - x 2 - 2 y 2 , orientada com a normal unitária de modo que N → ⋅ k → > 0 .

Resolução
33.

Questão 2: Calcule

∬ S   F → ⋅ n → d S

Onde F → x ,   y ,   z = x ,   0 ,   z e S é a parte do paraboloide y = x 2 + z 2 + 1 limitado pelo cilindro x 2 + z 2 = 16 e orientado por n → tal que n → ⋅ j → > 0 .

Resolução
34.

Seja F → = e - x 2 + y , z x , e z + 1 e S a semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , com a normal tendo coordenada z positiva em 0,0 , 1 .   Escrever a integral de superfície (não precisa calcular ela) ∬ S F   → ∙ n → d S usando:

1. A parametrização x , y → x , y , 1 - x 2 - y 2 ,   x , y x 2 + y 2 ≤ 1 } ,  

2. A parametrização ϕ , θ → s e n ϕ cos ⁡ θ , s e n ϕ s e n θ , cos ⁡ ϕ ,   ϕ , θ   ∈ [ 0 , π / 2 ] × [ 0,2 π ] ,

3. Calculando primeiro F n = F → ∙ n →   e escrevendo a integral de função escalar ∬ S F n d S   com respeito a parametrização ϕ , θ do item 2 .

Resolução
35.

Seja F → x , y , z = ( cos 2 ⁡ z , cos 2 ⁡ y ,   s e n   z ) e S a parte da superfície x = sen ⁡ y + cos ⁡ z limitada por z = 0 , z = 2 y = - 1 e y = 1 , orientada por N → tal que N → . i → < 0 . Calcule

∬ S   F → . N → d σ

Resolução
36.

Seja S a superfície de revolução obtida girando a curva C , definida pela equação

y = e x ,             x ∈ [ 0,1 ]

Em torno do eixo O X com vetor normal apontando para o lado do eixo de revolução. Calcule o fluxo do campo vetorial

F → x , y , z = x z 2 + y 2 , y , z